• Considere um baralho de cartas normal de 52 cartas.

1. Quantas mãos de três cartas é que existem?
2. Quantas mãos de três cartas que formam um triplo é que existem?
3. Quantas mãos de quatro cartas em que exactamente, três são do mesmo naipe é que existem?

Resolução:

a) Temos 52 cartas e queremos saber de quantas maneiras podemos ter três cartas na mão. A resposta correcta é:

52C3=

=22100

b) Existem 4 ases, 4 reis, 4 valetes,.... Ao todo são 13 conjuntos de 4 cartas com o mesmo nome, mas de diferentes naipes (4´ 13=52).

Para escolhermos 3 cartas de um qualquer conjunto de 4 cartas, temos   possibilidades.

Como há 13 conjuntos possíveis, o resultado final será,

13´ 4C3 =

´ 13=

.13=52

c)São 52 cartas e 4 naipes logo há 13 cartas de cada naipe. Para termos 3 cartas do mesmo naipe basta-nos contar o número de maneiras que temos 3 cartas de entre 13, ou seja, . Como se tratam de 4 naipes temos, ´ 4 maneiras de o fazer.

Por outro lado, queremos uma mão de 4 cartas em que apenas 3 são do mesmo naipe, logo temos que escolher a 4ª carta de entre as 52-13=39 e há ³⁹C₁= =39 maneiras de o fazer.

Assim, a resposta final vai ser, 39´ ´ 4=44616.

• Cinco rapazes e cinco raparigas vão sentar-se numa bancada. Indique de quantas maneiras se podem sentar, para cada uma das seguintes condições:

a)Os rapazes sentam-se todos nos 5 lugares à esquerda.

b)Nenhum par de rapazes se senta em lugares contíguos.

c)O Joaquim e a Patrícia têm de ficar lado a lado.

d)Se os rapazes e as raparigas se pudessem sentar num lugar qualquer.

Resolução:

a)Pensemos numa bancada e que queremos os rapazes à esquerda. Assim,

Queremos sentar as 5 raparigas em 5 lugares e há P₅=5! maneiras de o fazer: Pois há 5 possibilidades para ocupar a 1ª cadeira, 4 possibilidades para ocupar a 2º cadeira (porque já sentámos uma rapariga), 3 possibilidades para a 3ª cadeira (porque já sentámos duas raparigas), 2 possibilidades para a 4ª e a restante ocupa a ultima cadeira.

Aplicando o mesmo raciocínio aos rapazes, temos P₅=5! possibilidades.

Atendendo a que sempre que alterarmos a posição das raparigas e mantivermos a posição dos rapazes, ou vice-versa, estamos perante maneiras diferentes de os sentar, a resposta final será,

=5!´ 5!

2. Sabemos que não queremos nenhum rapaz junto de outro. Vejamos o que acontece na bancada.

1) se um rapaz ocupar a 1ª cadeira temos:

2. Se ocupar a 2ª cadeira temos:

e é a única, porque não queremos dois rapazes juntos!

Portanto, há 6 maneiras de os sentar mas como se tratam de rapazes e raparigas diferentes (sentar a Maria junto do Manuel é diferente de sentar a Maria junto do Joaquim), temos que os permutar, isto é, P₅ ´ P₅ = 5! ´ 5!

Assim, a resposta correcta será: 6 ´ P₅ ´ P₅= 6 ´ 5! ´ 5!

3. A primeira coisa que temos de fazer é contar quantas maneiras há de ter 2 lugares juntos (para que o Joaquim e a Patrícia fiquem lado a lado). Vamos espreitar, de novo, a bancada:

Assim, há 9 maneiras de escolher esses mesmos lugares.

Como é diferente sentarmos o Joaquim e a Patrícia, e a Patrícia, e a Patrícia e o Joaquim temos, 2 ´ 9 possibilidades.
Por fim, temos que sentar os rapazes e raparigas que faltam e como não temos quaisquer restrições para o fazer basta permutá-los nos lugares que faltam. restam-nos 8 lugares, portanto há P₈= 8! maneiras de o fazer.

A resposta final será 2´ 9´ P₈=2´ 9´ 8!

d) Como não temos nenhuma restrição, temos:

10 possibilidades para ocupar a 1ª banco da bancada

9 possibilidades para ocupar o 2º banco (porque já sentámos uma pessoa)

8 possibilidades para ocupar o 3º banco (porque já sentamos 2 pessoas)

(...)

Assim, a resposta correcta é P₁₀=10!

• De quantas maneiras possíveis se podem sentar 5 pessoas:

a)Numa fila?

b)Em circulo, considerando apenas a posição relativa das pessoas?

Resolução :

a)Suponhamos que o conjunto das pessoas é: X= í a, b, c, d, eý para sentarmos uma pessoa num lugar temos 5 possibilidades para o fazer (porque há 5 pessoas), para um outro lugar, como já sentamos uma pessoa temos 4 possibilidades de escolher a próxima a sentar-se, e assim consecutivamente.

Assim, o numero dessas possibilidades corresponde, ao numero de sequências com 5 elementos que se podem formar.

Por exemplo: abdec, adecb,..., logo o numero pretendido é: P₅=5!=5´ 4´ 3´ 2´ 1.

b)Consideremos que o conjunto de pessoas é: X=í a, b, c, d, eý e vamos dispô-los em circulo:

O numero de possibilidades que o conjunto X tem de se sentar é equivalente ao numero de sequências formadas com 5 elementos distintos, isto é, P₅=5!

Mas como, abcde=bcdea=cdeab=deabc=eabcd, temos 5 hipóteses repetidas, logo a resposta correcta é:

• 7 automóveis diferentes estão estacionados num parque de estacionamento que tem o seguinte aspecto:

a)Quantas são as maneiras possíveis de estacionar?

b)Desses 7 automóveis, 3 pertencem a assistentes e a 4 professores. Sabendo que os automóveis dos assistentes estão estacionados mais longe da Escola do que os automóveis dos professores, quantas são as configurações possíveis desse estacionamento?

c) Um oitavo automobilista pretende estacionar de modo a que o seu automóvel não tenha automóveis ao lado. Quantas são as diferentes configurações que permitem satisfazer a vontade deste fulano?

Resolução:

a)Sabendo que, temos 10 lugares à escolha e apenas 7 automóveis o numero de possibilidades de escolher 7 lugares de entre

os 10, isto é,

Depois de escolher estes lugares podemos trocar os carros que os ocupam e como são 7 carros ao todo temos:

7 possibilidades para ocupar o 1º lugar,

6 possibilidades para ocupar o 2ª lugar (porque já estacionámos um carro)

Portanto, temos P₇=7! maneiras de os colocar após termos escolhido os lugares para fazer. A resposta correcta será:

(Outra resolução)

o primeiro carro que chega à Faculdade tem que escolher o lugar de entre 10; o 2º escolhe de entre 9;...; o 7º escolhe de entre 4. Assim, existem 10´ 9´ 8´ ...´ 4=

maneiras de estacionar.

b)Como na resposta anterior temos 7 automóveis, para 10 lugares, portanto há maneiras de escolher os 7 lugares onde os estacionar. Nesses 7 lugares escolhidos queremos que os assistentes fiquem mais longe da Faculdade, logo vão ocupar os 3 lugares mais à esquerda. Como há apenas 3 assistentes queremos saber de quantas maneiras podemos formar uma sequência de 3 elementos, e a resposta será P₃=3!

Aplicando o mesmo raciocínio aos 4 lugares que sobram (de entre os 7 escolhidos) e à maneira como os carros dos professores os vão ocupar, temos P₄=4! possibilidades.

Assim, a resposta final será:

4!

c)Comecemos por perceber o enunciado.

O 8º carro não quer ninguém ao seu lado, portanto se o colocarmos num dos extremos do parque temos que deixar o lugar a seu lado, vago. Se o colocarmos em qualquer outro lugar, os 2 que lhe são contíguos têm que ficar vazios.

Supunhamos que estamos no 1º caso:

Assim, basta-me colocar os 7 carros, nos 8 lugares que me restam. Para isso, escolho 7 lugares de entre 8, e há

maneiras de o fazer.

Assim, basta-me colocar os 7 carros, nos 8 lugares que me restam. Para isso, escolho 7 lugares de entre 8, e há maneiras de o fazer. Depois de escolher os lugares para estacionar os 7 carros basta-me permuta-los. Como tenho 7 possibilidades para ocupar o 1º lugar, 6 possibilidades para ocupar o 2º lugar (pois já estacionei um carro),..., há P₇=7! maneiras de o fazer.

Repetindo o mesmo raciocínio para o outro extremo do parque temos que, se o carro for estacionado nestes lugares há : 2. =2..7! configurações possíveis.

Consideremos que o carro não se encontra num dos extremos da bancada:

Temos 8 maneiras de os estacionar, e como os lugares a seu lado têm que estar vazios sobram apenas 7 lugares.

Para estacionar os outros 7 carros nos 7 lugares que faltam temos:

7 possibilidades para o 1º lugar

6 possibilidades para o 2º lugar (porque já estacionamos um carro)

5 possibilidades para o 3º lugar (porque já estacionamos 2 carros)

(...)

Assim, há 7! maneiras de o fazer.

Portanto, se o 8º carro for estacionado nestas condições há, 8´ 7! configurações possíveis.

A resposta final vai ser:

• Considere a seguinte situação: Uma caixa contem n bolas diferentes, r das quais são retiradas uma a uma. Qual o numero de diferentes extracções se:

a) Procedermos com reposição, isto é, sempre que se retira uma bola ela é imediatamente reposta na caixa, e considerarmos a ordem pela qual as bolas são retiradas.

b)Procedermos sem reposição e considerando a ordem pela qual são retiradas.

c) Procedermos sem reposição e sem considerar a ordem pela qual as bolas são retiradas.

Resolução:

a) Há n possibilidades para a escolha da 1ª bola, mas como procedemos com reposição voltamos a colocá-la dentro do saco, por isso quando retiramos a 2ª bola temos, novamente, n possibilidades. Aplicando o mesmo raciocínio, temos as mesmas n possibilidades para as restantes bolas (que são r), logo há n^r diferentes extracções nestas condições.

b) Como não as colocamos novamente no saco, depois de as retirarmos (porque se tratam de extracções sem reposição) e considerarmos a ordem pela qual são retiradas temos:

n possibilidades para a 1ª bola,

n-1 possibilidades para a 2ª bola (porque já retiramos uma do saco)

(...)

possibilidades para a r^ésima bola

O numero de diferentes extracções que podemos efectuar é: n^r

c) neste caso, não voltamos a colocar as bolas dentro do saco e não nos interessa a ordem pela qual as tiramos portanto, basta-nos saber o numero de vezes que podemos tirar r bolas de entre n. A resposta correcta é:

• Pretende-se arrumar numa estante 4 livros de Calculo, 6 livros de Álgebra e 2 livros de Geometria. Quantas são as maneiras possíveis de os arrumar, sabendo que:

a)Os livros de um mesmo assunto devem ficar juntos.

b)Os livros de Calculo devem ficar juntos

c)Apenas os livros de Calculo devem ficar juntos.

Resolução:

a)Considerando os livros de um tema como um bloco, temos que uma maneira de os arrumar é:

Não queremos que livros diferentes temas se misturem, mas podemos permutá-los entre si, então, temos P₄=4! possibilidades de situar os livros de Calculo dentro do bloco de Calculo,

P₆=6! possibilidades de situar os livros de Álgebra dentro do bloco de Álgebra,

P₂=2! possibilidades de situar os livros de Geometria dentro do bloco de Geometria.

Por outro lado podemos permutar os 3 blocos entre si, e temos P₃=3! possibilidades para o fazer.

A resposta final vai ser 3!4!6!2!

b) Pensemos nos livros de Calculo como um bloco, já que não os queremos separar. Assim, temos 8 livros mais o bloco, para permutarmos, e há P₉=9! maneiras de o fazer.

Por outro lado como os livros de calculo podem permutar entre si, não separando o bloco, têm P₄=4! possibilidades para se disporem.

O resultado final será P₄.P₉=4!9!

c)Pela alínea b) sabemos que há 9!4! maneiras para colocarmos os livros de Calculo juntos, portanto, basta-nos tirar o numero de maneiras em que os livros de Calculo e Álgebra estão juntos, e o numero de maneiras em que os livros de Calculo Geometria estão juntos.

Consideremos as seguintes notações:

A= numero de maneiras em que os livros de Calculo e Álgebra estão juntos

G= numero de maneiras em que os livros de Calculo e Geometria estão juntos

T= numero de maneiras em que os 3 temas estão juntos.

Para calcularmos A basta considerarmos os livros de calculo como um bloco e os livros de Álgebra como outro bloco. Como nos sobram os 2 livros de Geometria, temos ao todo 4 coisas para permutar, e há P₄=4! maneiras de o fazer.

Mas, sabemos que os livros de Calculo podem permutar entre si, assim como os de Álgebra, e há P₄=4! e P₆=6! de o fazerem respectivamente.

Assim, A= 4!4!6!

Por outro lado considerando os livros de Calculo como um bloco, e os livros de Geometria como outro, sobram-nos os 6 livros de Álgebra e temos ao todo 8 coisas para permutar. Há P₈08! maneiras de o fazer.

Como podemos permutar os livros de Calculo entre si, assim como os de Geometria, temos, P₄=4! e P₂=2! possibilidades para o fazer, respectivamente.

Assim, B=8!4!2!

Por ultimo, para calcularmos T basta-nos considerar o conjunto de cada livro como um bloco. Temos P₃=3 maneiras de permutar os 3 blocos e para permutar os livros de diferentes temas ventre si, temos P₄=4!, P₆=6! e P₂=2! possibilidades para permutarmos livros de Calculo, Álgebra e Geometria, respectivamente.

Assim, T=314!6!2!

O resultado final que pretendemos e´:

9!4!-6!4!4!-8!4!2!+3!4!6!2!, isto é, do numero total de maneiras de dispor os livros de Calculo juntos tirarmos o numero de maneiras em que também os de Álgebra (A) e, os de Geometria (G) estão juntos. Mas temos que adicionar o numero de maneiras em que os 3 se encontram separados por blocos (T) porque também os contabilizamos no A e no G e retirámo-los 2 vezes do resultado final.

• De quantas maneiras se podem dispor n bandeiras em r mastros:

Resolução:

Para a 1ª bandeira temos r possibilidades.

Para a 2ª bandeira temos: * r-1 possibilidades em que a 2ª bandeira ocupa um mastro desocupado

                                        * 2 possibilidades em que a 2ª bandeira ocupa o mesmo mastro que a 1ª, podendo fazê-lo por cima                                              ou por baixo desta.

Logo a 2ª bandeira tem (r-1)+2=r+1 hipóteses

Para a 3ª bandeira temos: *r-2 possibilidades em que as 3 bandeiras estão em mastros distintos

                                        * 4 possibilidades em que a 3ª bandeira se encontra por cima ou por baixo das duas primeiras.

Logo a 3ª bandeira tem (r-2)+4=r+2 hipóteses

Aplicando o mesmo raciocínio temos que a n^esima bandeira vai ter r+n-1 hipóteses

A resposta final é: r(r+1)...(r+n-1)=(r+nj-1)ⁿ

• A bandeira de um clube é formada por 3 faixas verticais. Se pudermos usar 7 cores, quantas bandeiras com 3 faixas verticais conseguimos fazer?

Resolução: Para não alterarmos a estrutura da bandeira não queremos duas faixas seguidas da mesma cor, então, vão ser possíveis dois tipos de bandeiras:

a)Bandeiras com três cores

É preciso ter em atenção que uma bandeira Amarela-Azul-Vermelha é diferente da Azul-Vermelha-Amarela. Como há 7 cores disponíveis existe 7´ 6´ 5=210 bandeiras possíveis

b)Bandeiras com duas cores:

Como a terceira cor é igual à primeira, interessam-nos os arranjos de duas cores. Como temos 7 cores disponíveis conseguimos 7´ 6=4 bandeiras. A resposta final será: =210+42=252

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http://www.gd.com.br/pgmarques/mat-t101.htm

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http://www.gd.com.br/pgmarques/mat-t103.htm

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