1. Um exame consta de dez perguntas, cada uma com duas respostas à escolha. Para um aluno que responde ao acaso, determine a probabilidade de acertar em pelo menos cinco respostas.

Resolução: seja P a probabilidade de o aluno acertar em, pelo menos cinco respostas e P_i a probabilidade do aluno acertar em i respostas, com iÎ { 1,......., 10} .

Logo, a probabilidade pretendida, P, será: P = P₅ + P₆ + P₇ + P₈ + P₉ + P₁₀ .

Para um determinado iÎ { 5,......., 10} , como o aluno tem a mesma probabilidade de acertar em cada pergunta, P_i = casos favoráveis/casos possíveis.

• Casos favoráveis- nº de maneiras de se escolher ao acaso i perguntas de entre 10. Serão ¹⁰C_i .
• Casos possíveis- nº de maneiras de se escolher ao acaso uma resposta, para cada uma das dez perguntas. Como cada pergunta tem duas respostas possíveis, o nº de maneiras de as escolher é 2. Logo, em dez perguntas o nº de maneiras de escolher as respectivas respostas é 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 2¹⁰.

Assim, para cada iÎ { 5,......., 10} , Pi =10Ci /210 e portanto, P =

1. Num parque de estacionamento há doze lugares em fila, dos quais oito estão ocupados. Alguém reparou que os quatro lugares vazios que restam são todos adjacentes. Qual a probabilidade de isto acontecer?

Resolução: Consideremos P a probabilidade de os quatro lugares vazios que restam serem adjacentes. Como cada lugar tem a mesma probabilidade de estar ocupado, podemos usar a definição clássica de probabilidade, P = casos favoráveis/casos possíveis.

• Casos favoráveis- Correspondem ao nº de maneiras de arrumar os oito carros nos doze lugares, de modo a que fiquem livres quatro lugares adjacentes. Considerando os quatro lugares vazios um "bloco", o problema resume-se a calcular o nº de maneiras de arrumar os oito carros com o "bloco".

Assim, os casos favoráveis serão 9!.

• Casos possíveis- nº de maneiras de arrumar os oito carros nos doze lugares, ao acaso. Serão ¹²C₈ x 8!

Por fim, concluímos que o resultado será:

1. Os habitantes de uma pequena cidade de província adoram contar fofocas uns aos outros. Suponha que a cidade tem n+1 habitantes e que uma pessoa conta uma fofoca a outra, que por sua vez a repete a uma terceira pessoa, etc.

Em cada passo, a pessoa que ouve a fofoca é escolhida ao acaso de entre as n restantes.

Determine a probabilidade de uma fofoca ser contada r vezes:

1. Sem voltar a ser contada à primeira pessoa.
2. Sem ninguém a ouvir mais do que uma vez.

Resolução:

a)

• Casos favoráveis: corresponde ao nº de maneiras de escolher ao acaso r-1 pessoas, de entre os habitantes da aldeia, para contar a fofoca, sem escolher a primeira pessoa. A primeira pessoa a contar a fofoca tem n possibilidades para o fazer. Como não pode ser voltada a contar à primeira pessoa, as restantes pessoas têm n-1 possibilidades para contar a fofoca (pois também não contam a fofoca a si próprios!!!)

Logo, os casos favoráveis serão: n.(n-1)^r-1.

• Casos possíveis: Nº de maneiras de uma pessoa escolher ao acaso r pessoas, sem restrições, para contar a fofoca. São n^r.

Logo, P = n.(n-1)^r-1/ n^r.

b)

• Casos favoráveis: Como cada pessoa só pode ouvir a fofoca uma vez, para cada escolha que se faz para contar a fofoca tem-se n possibilidades, excepto o nº de pessoas que já ouviram a fofoca. Logo, temos (n).(n-1)......(n+1-r+1) maneiras de escolher a pessoa para ouvir a fofoca, sem se repetirem.

• Casos possíveis: Análogo à alínea anterior.

Assim, o resultado é: P = (n).(n-1)......(n+1-r+1)/ n^r.

1. De três pessoas escolhidas ao acaso, calcule a probabilidade de:

1. Terem nascido todas em meses diferentes.
2. Terem nascido todas no mesmo mês.
3. Terem nascido no mesmo mês duas e só duas.

Resolução:

a) Seja P a probabilidade de as três pessoas terem nascido todas em meses diferentes.

• Casos favoráveis: Como as três pessoas têm de ter nascido em meses diferentes e há doze meses, temos doze possibilidades para a primeira pessoa, onze para a Segunda e dez para a terceira. Logo, os casos favoráveis serão 12 x 11 x 10.

NOTA: Outra maneira poderia ser ¹²C₃ 3!.

• Casos possíveis: Corresponde ao nº de maneiras de "distribuir" as três pessoas pelos doze meses. É, pois, 12³.

O resultado final é P = 12 x 11 x 10/12³.

b) Seja P a probabilidade de as três pessoas terem nascido todas no mesmo mês.

• Casos favoráveis: Temos doze possibilidades para escolher o mês em que nasceram as três pessoas
• Casos possíveis: Análogo ao da alínea anterior.

O resultado final é P = 12 /12³.

c)Seja P a probabilidade de duas e só duas pessoas terem nascido no mesmo mês.

• Casos favoráveis: Para as pessoas que nasceram no mesmo mês há doze possibilidades. Para a pessoa que nasceu num mês diferente das outras duas, há onze possibilidades. Além disso, essas pessoas são escolhidas ao acaso.

Logo, os casos favoráveis são: C₂ x 12 x 11.

• Casos possíveis: Novamente, análogo aos anteriores!

Logo, neste caso, P = ³C₂ x 12 x 11/12³.

1. Um sistema de radar de controlo de velocidade é constituído por n unidades de radar que funcionam independentemente, cada um com probabilidade de 0,9 em detectar um automóvel que ingresse na zona coberta por todas as referidas unidades.

1. Se n=6 e um automóvel entra na zona de radar, qual é a probabilidade de que cinco unidades de radar detectem o automóvel?
2. Qual deve ser o nº de unidades, n, para que a probabilidade de detectar o automóvel seja de 0,999?

Resolução:

a) A probabilidade de um radar não detectar um automóvel é um menos a probabilidade de um radar detectar um automóvel (são acontecimentos complementares). Logo, essa probabilidade é 1-0.9=0.1.

Assim, das seis unidades, uma não detectará o carro, com probabilidade 0.1, e as outras cinco restantes detectam o carro, com uma probabilidade de 0.9. para além disso, a unidade que avaria é escolhida ao acaso, de entre as seis existentes.

Portanto, sendo P a probabilidade de cinco radares detectarem o automóvel, P=

.

b) A probabilidade de n unidades detectar um automóvel é um menos a probabilidade de n unidades não detectarem um automóvel.

Logo, , ou seja, 0.999=1-(0.1)ⁿ. Resolvendo a equação, chega-se ao resultado n=3.

Assim, o nº de unidades para que a probabilidade de detectar o automóvel seja 0.999 serão três.

6- Num torneio de ténis, a final é disputada por um Sueco e por um Norte-Americano. Vence o que primeiro ganhar cinco partidas. O Norte-Americano vence a primeira partida, embora o Sueco seja igualmente bom. Qual é a probabilidade de que o torneio seja ganho pelo Norte-Americano?

1. Resolução: São. No máximo nove partidas.

Para cada partida, a probabilidade que o Norte-Americano tem de ganhar é ½.

Logo, o jogador Norte-Americano ganha o torneio, se acontecerem uma seguintes possibilidades:

1. ganhar as quatro partidas seguintes, P₁=1/2.1/2.1/2.1/2=(1/2)⁴ é a probabilidade de o fazer.
2. Ganhar três das quatro partidas seguintes e a Sexta, com probabilidade.



3. Ganhar três das cinco partidas seguintes e a sétima , com probabilidade  P₃=
4. Ganhar três das seis partidas seguintes e ganhar a oitava, com probabilidade, usando um raciocínio análogo aos anteriores,



5. Ganhar três das sete partidas seguintes e a nona partida, com

de probabilidade.

Logo, a probabilidade de o Norte-Americano ganhar a partida será .