Consideremos a seguinte estrela descomposta em triângulos rectângulos:
Pela construção da estrela e pelas propriedades dos triângulos sabe-se que, os triângulos UFO, UFK,VGM, VGL, YAL, YAK, XCM e XCO são iguais.
Portanto, para obter a área destes oito triângulos é suficiente calcular a área de um deles e multiplicá-la por oito.
Consideremos, então o triângulo:
Sendo, FO = 2,136 cm e designemos por x a distância de F a U.
Por hipótese, LM = 2,21 cm e LM = KO. Como 2OU = KO, temos OU = 1,105 cm.
Pelo Teorema de Pitágoras, vem:
x2 + (1,105)2 = (2,136)2
Logo, x2 = 3,341, isto é x = 1,828 cm.
Portanto, a área do triângulo UFO é:
(1,105 * 1,828) / 2 = 1,01 cm2.
E, consequentemente a área dos oito triângulos é 8,08 cm2.
Por outro lado, sabe-se que os oito triângulos rectângulos situados no interior do quadrado desenhado no interior da estrela são iguais e, por isso, só é necessário calcular a área de um deles.
Consideremos o seguinte triângulo :
Deste triângulo sabe-se que DM = 1,562 cm. Repare-se que LM = 2MV e DV = MV, logo, como LM = 2,21 cm temos, DV = 1,105 cm. Dado que a área de um triângulo é a (base x altura)/2, concluímos que a área do triângulo DVM é:
( 1,105 x 1,105 )/2 = 0,611 cm2
Consequentemente a área destes oito triângulos é dada por, 8 x 0,611 = 4,888 cm2.
Como a estrela é formada por 16 triângulos rectângulos, a sua área é igual à soma das áreas destes 16 triângulos.
Portanto, a área da estrela é :
4,888 cm2 + 8,08 cm2 = 12,968 cm2