O Teorema de Pitágoras suscitou o interesse de muitos estudiosos e matemáticos. Através dos séculos, centenas de provas tem sido desenvolvidas.
É imprescindível que cada professor de matemática conheça pelo menos algumas demonstrações, para que utilize em suas aulas aquelas que melhor se adaptem ao seu curso e preferencialmente permitem participação activa dos alunos.
Nos cursos tradicionais de geometria plana, a prova utilizada é a prova por semelhança. No triângulo ACB rectângulo em C (fig. 1 ), a altura CK ( perpendicular a AB ) relativa à hipotenusa forma dois triângulos semelhantes ao próprio triângulo, em visto da congruência dos ângulos (A^CK=^B complemento de Â, B^CK=Â, complemento de ^B ).Portanto, temos proporcionalidades entre os lados homólogos, um para cada triângulo parcial com o total : b/c = x/b e a/c = y/a
Então, b2= xc e a2 = yc , conhecidas como relações métricas de Euclides. Adicionando-as, obtemos :
b2 + a2 = xc +yc = (x+y)*c = c*c = c2
Figura 1
Esta prova pertence a Garfield (James Abram Garfield, presidente dos E.U.A( apenas por 4 meses ) assassinado em 1881). A prova foi publicada em 1882, no Mathematical Magazine.
Considere o seguinte trapézio:
A área do trapézio é dada pelo " produto da semi-soma das bases pela altura", portanto a área é :
(b+c)/2 * (b+c) = (b+c)2/2 = b2/2 + b*c + c2/2
Mas, esta área também é dada pela soma das áreas dos 3 triângulos :
b*c/2 + b*c/2 + a2/2 = b*c + a2/2
Então, b*c + a2/2 = b2/2 + b*c + c2/2
Logo, a2 = b2+c2, como queríamos demonstrar.
O Teorema de Pitágoras poderia ser enunciado de uma maneira geométrica. De facto , ele diz-nos que :
A área do quadrado construído sobre a hipotenusa, é igual á soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
"Por esta razão, a reflexão sobre o triângulo rectângulo incita-os a reprocurar os casos em que as medidas dos lados são números inteiros. Assim, constróem várias "tríades" do tipo a2+b2=c2 em que a, b, e c são números inteiros."
Dumont , A Filosofia Antiga
Ternos pitagóricos são quaisquer três números inteiros e positivos a, b e c que satisfazem a relação: a2+b2=c2
O terno pitagórico 3 - 4 - 5 diz-se primitivo pois a partir dele podem originar-se outros ternos pitagóricos. Olhe-mo-lo com um pouco mais de sensibilidade: a sua beleza é realçada pela simplicidade dos seus componentes, três números inteiros consecutivos cujo primeiro número é o primeiro ímpar depois da unidade, o segundo é o quadrado e simultaneamente o dobro do primeiro número par (referimo-nos ao 2 como segundo par, após do zero, pois se todo o número par é múltiplo de 2, o zero é múltiplo de todos os números; portanto parece-nos melhor tratá-lo por múltiplo universal, conforme Aniceto Monteiro e José da Silva Paulo na sua Aritmética Racional (Lisboa, 1945)) e o terceiro é justamente a soma de 2 e de 3.
Facilmente se
conclui existir uma infinidade de ternos pitagóricos. Resalta ainda que todo o terno
pitagórico de inteiros em progressão aritmética (não existe terno pitagórico de
inteiros em progressão geométrica) é derivado deste famoso terno 3 - 4 - 5, como é o
seu semelhante 6 - 8 -10 ou 9 -12 -15, etc.; e até mesmo os que não são de inteiros,
como 3,6 - 4.6 - 6.
O triângulo 3 - 4 - 5 é o exemplo mais simples do triângulo de Pitágoras,
ou seja, um triângulo rectângulo de lados inteiros. Este é o único triângulo
pitagórico cujos lados estão em progressão aritmética. É também o único triângulo,
independentemente da forma, com lados inteiros, cuja soma (12) é o dobro da sua área
(6). Curiosamente, há pelo menos um outro triângulo pitagórico cuja área é expressa
com um único algarismo: o triângulo 683-1924-2045, que tem a área 666 666.
A soma dos cubos dos números 3, 4 e 5 é igual ao cubo do quarto consecutivo,que é o 6 , isto é: 33+43+53=63; portanto, se construirmos três cubos de arestas respectivamente 3, 4 e 5 unidades, a soma dos seus volumes será igual ao volume do cubo de aresta 6 unidades.
Os pitagóricos associavam o menor triângulo de Pitágoras (um triângulo recto de lados inteiros) ao casamento, sendo o teorema de Pitágoras por vezes denominado teorema dos noivos. Os lados 3 e 4 eram associados ao masculino e feminino respectivamente e a hipotenusa, 5, à descendência.
Sob a forma de curiosidade aqui fica uma forma de obter ternos pitagóricos: consideremos qualquer par consecutivo de números ímpares ou pares e somemos os seus inversos. Por exemplo, 1/3 + 1/5 = 8/15. Desta forma, 8 e 15 são os catetos de um triângulo rectângulo: de facto,82+152=172.
