~ O V Postulado de Euclides ~

    A Geometria de Euclides sem o quinto postulado é designada Geometria Absoluta.

O Quinto Postulado de Euclides ( também chamado o postulado das paralelas) foi, desde o início, objecto de polémica, principalmente por não possuir, aparentemente, o mesmo grau de evidência que os restantes postulados (observe-se que, até há pouco mais de cem anos, a auto-evidência de um postulado era uma condição necessária da sua aceitação).

Vários Matemáticos, de todas as grandezas e épocas,  procuraram demonstrá-lo.     Porém, todas estas tentativas foram frustradas visto não serem dedutivamente válidas. Mas, em geral, alguma coisa nova se aprendeu com cada fracasso.

    Este "ataque" ao Quinto Postulado de Euclides, com o objectivo de demonstrá-lo, foi iniciado pelos gregos cujos trabalhos, mais tarde, foram retomados pelos árabes.

~ Tentativas da sua demonstração ~

  O famoso Matemático inglês John Wallis (1616 - 1703), antecessor de Isaac Newton, debruçou-se com energia, no século XVII, sobre o problema e tentou em vão resolvê-lo.

    Wallis, o autor da "Aritmética dos Infinitos" desistiu da pretensão de demonstrar o Postulado de Paralelismo de Euclides na geometria absoluta, mas propôs substituí-lo por outro mais plausível a partir do qual fosse possível demonstrar aquele.
    Assim, removiam-se as objecções ao Quinto Postulado e nada se perdia da geometria de Euclides.

    Mas, de facto, o que escapou a Wallis foi que o Quinto Postulado de Euclides implicava, por sua vez, o postulado de Wallis, de modo que os dois postulados eram, afinal, equivalentes.

    Enunciamos de seguida o postulado de Wallis:

    "Dado um triângulo plano é sempre possível obter outro triângulo semelhante e de área tão grande quanto se queira".

  Roberto Bonola ( matemático italiano ), relativamente ao trabalho de Wallis, observou o seguinte:

  "A equivalência entre os postulados de Wallis e de Euclides mostra-nos que se fosse possível um sistema geométrico no qual se rejeitasse o V Postulado Euclidiano, a existência de figuras semelhantes, nesse sistema, seria impossível".

   O que aconteceu com a tentativa de Wallis aconteceu com muitas outras: proposições mais ou menos óbvias, evidentes ou plausíveis, intenciolmente destinadas a substituir mas implicando o Quinto Postulado de Euclides eram, afinal de contas, proposições equivalentes a este.