~ Proposições equivalentes ao V Postulado de Euclides ~

  Mencionamos, a título de curiosidade, algumas das proposições que se mostrou serem equivalentes ao Postulado de Paralelismo de Euclides:

    1. Os ângulos colaterais internos formados por duas paralelas são suplementares. ( Ptolomeu )

    2. Duas rectas paralelas são equidistantes. ( Ptolomeu )

    3. Dadas duas paralelas, toda a recta que cortar uma delas corta também a outra. ( Proclo )

    4. Duas rectas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.

    5. De um ponto tomado fora de uma recta só se pode tirar uma paralela a essa recta. ( Proclo; Gergonne )

    6. Pode-se construir um triângulo semelhante a um triângulo dado e de grandeza arbitrária. ( Wallis )

    7. Por três pontos, não em linha recta, passa sempre uma esfera. ( Bolyai )

    8. O lugar dos pontos equidistantes de uma recta é outra recta. ( Cristovão Clavius, S. J.; Borelli )

    9. Dadas duas rectas P e O, sendo uma perpendicular ( P ) e outra oblíqua ( O ) a uma transversal S, os segmentos das perpendiculares a P compreendidos entre P e O, são menores na região em que S forma com O um ângulo agudo. ( Nazir-Edin )

10. A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos rectos. ( Saccheri )

11. É possível construir um triângulo cuja área seja maior do que qualquer área dada. ( Gauss )

12. Dadas uma perpendicular P e uma oblíqua O a uma mesma transversal S, a oblíqua O encontra a perpendicular do lado em que a soma dos ângulos internos for a menor. ( Bertrand )