~ Geometria não Euclidiana ~

Como surgiu?

    O padre jesuíta Gerolamo Saccheri , S. J. ( 1667 - 1733 ) foi igualmente atraído pela dificuldade insuperável do problema das paralelas de Euclides. Foi talvez o primeiro a ensaiar uma abordagem de demonstração inteiramente nova. No seu último livro Euclides ab omni naevo vindicatus tentou utilizar a técnica da redução ao absurdo, admitindo a negação do postulado de paralelismo de Euclides com vista a obter algum absurdo ou contradição.

    Para demonstrar o V Postulado de Euclides, Saccheri centrou o seu estudo em certos quadriláteros, conhecidos por quadriláteros de Saccheri, com dois ângulos rectos na base ( digamos, A e B ) e os lados adjacentes congruentes  ( [AD] e [BC] ).

    Facilmente se prova na geometria absoluta que os ângulos no topo ( lado oposto à base ) são também congruentes.
    Há, então, três casos a considerar:

• Caso 1: os ângulos do topo são rectos;
• Caso 2: os ângulos do topo são obtusos;
• Caso 3: os ângulos do topo são agudos.

    No primeiro caso, o quadrilátero [ABCD] será um rectângulo.

Saccheri demonstrou que a hipótese do caso 1 era verdadeira.    O seu objectivo era provar que este seria o único caso possível ( caindo, assim, na Geometria Euclidiana ), mostrando que qualquer um dos outros casos levaria a uma contradição.

    Do caso 2 sai, efectivamente, uma contradição.

Porém, por mais que tentasse, Saccheri não conseguiu extrair uma contradição do caso3.    Completamente frustrado e esgotado pelo esforço, Saccheri exclama, concluíndo: "A hipótese dos ângulos agudos é absolutamente falsa, pois é repugnante à natureza da linha recta!".

    Mas, sem o saber, Saccheri tinha descoberto a Geometria não Euclidiana!!!

   Infelizmente, os outros Matemáticos da altura não deram a devida importância ao seu livro e depressa este foi esquecido, sendo só redescoberto mais de um século depois.

~ Algumas Geometrias não Euclidianas ~

Geometria Hiperbólica

Geometria Esférica

Só mais de dois milénios depois de Euclides alguns Matemáticos demonstraram que o quinto postulado era realmente um postulado, construíndo novas geometrias em que consideravam como postulados os quatro primeiros de Euclides e um outro contraditório com o quinto.

    Entre esses Matemáticos, os que ficaram mais famosos foram Lobatchevski e Riemann.

    Em 1832, Nicholas Lobatchevsky ( russo ) mostrou que se considerassemos como quinto postulado «por um ponto exterior a uma recta passam uma infinidade de rectas paralelas à dada», obteríamos uma geometria perfeita coerente - a Geometria Hiperbólica que Einstein mais tarde utilizou para interpretar o universo.

    Em 1854, Bernhard Riemann  ( alemão ) utilizou como quinto postulado «por um ponto exterior a uma recta não passa nenhuma recta paralela à dada» e criou assim a Geometria Esférica, que tem como modelo a Terra.

    Portanto, podemos concluir que, basicamente, é o quinto postulado   que distingue  a Geometria não Euclidiana da Geometria Euclidiana.