Rectas e planos

GEOMETRIA EUCLIDEANA

Pontos,Rectas e Planos.

A parte da geometria a que nos propomos abordar, faz parte daquilo a que chamamos de geometria euclideana. É Euclides quem deu nome a este campo da geometria, por ter sido o primeiro matemático que se ocupou da organização dos conhecimentos da geometria no plano e no espaço.

Os conceitos de ponto, recta e plano são conceitos que não podem ser definidos. Podem apenas ser imaginados intuitivamente.É então a sua noção e a forma como se relacionam no espaço que vamos passar a abordar.

NOÇÃO DE PONTO

A noção de ponto pode ser-nos dada intuitivamente pelo mais pequeno grão de areia desprovido de espessura, ou então pela marca deixada no papel pelo toque de um lápis bem afiado. Um ponto não tem dimensão e é usualmente representado por uma pinta e identificado com uma letra maiúscula.

NOÇÃO DE RECTA

Imagina que o teu lápis se prolonga infinitamente e é desprovido de espessura. Esta imagem conduz-nos à noção de recta. Outras situações do dia-a-dia podem também nos levar à noção de recta, como por exemplo, um fio "infinitamente" grande e bem esticado ou os cabos da electricidade. Uma recta é constituída por uma infinidade de pontos .Uma recta tem dimensão um. É representada por um "traço" e usualmente identificada por uma letra minúscula.

MODO DE DEFINIR UMA RECTA

Na geometria euclideana, o Axioma 1diz-nos que "dois pontos definem uma recta". Este termo "definem" significaque determinam unicamente. Neste caso dizer que "dois pontos definem uma recta" é dizer que dados dois pontos há uma e uma só recta que os contém.

POSIÇÃO RELATIVA DE RECTAS E PONTOS

Três pontos dizem-se colineares se e só se existir uma recta que passe pelos três pontos. Note-se que neste contexto, dizer que "uma recta passa por um ponto" é o mesmo que dizer que esse ponto pertence à recta. Um ponto diz-se exterior a uma recta se não pertencer à recta, isto é, se a recta não passar por ele. Por qualquer ponto passam infinitas rectas.

POSIÇÕES RELATIVAS DE RECTAS NUM PLANO

Para relacionar rectas num plano, podes intuitivamente pensar na forma como dois lápis se podem posicionar em cima de uma mesa. Tendo em conta esta imagem, podes facilmente concluir que num plano duas rectas podem verificar um e um só destes casos:

1. Se as duas rectas têm um e um único ponto em comum então dizem-se rectas concorrentes.

Se as duas rectas concorrentes formam um ângulo de 90° então dizemos que são rectas perpendiculares e a intersecção das rectas dá um único ponto.

Senão as duas rectas concorrentes dizem-se oblíquas e a intersecção das rectas também dá um único ponto.

2. Senão as duas rectas dizem-se paralelas e dividem-se em dois grupos.

Se as duas rectas não têm nenhum ponto em comum então as rectas dizem-se estritamente paralelas.

Se as duas rectas têm uma infinidade de pontos em comum, as rectas dizem-se paralelas em sentido lato ou coincidentes.

NOÇÃO DE PLANO

Imagina, o tampo de uma mesa sem espessura e prolongado até ao infinito. A sala onde a mesa se encontra, ficou dividida em dois e se pensarmos que o dito "tampo" se prolonga infinitamente, pode-se até dizer que todo o universo se dividiu em dois. Intuitivamente esta noção de "tampo infinito", induz-nos à definição de plano. Mas, existem outras situações do quotidiano, que nos tornam possível descrever um plano, tais como: -o chão de uma sala, bem como o tecto, ou a superfície de um lago, ajudam-nos a visualizar um plano, pois são superfícies planas, que podemos imaginar desprovidas de espessura e prolongadas infinitamente.

Um plano tem dimensão dois. É representado por um paralelograma e é usualmente identificado por uma letra do alfabeto grego.

MODOS DE DEFINIR UM PLANO

Relembrando que três pontos dizem-se colineares se e só se uma recta incidente aos três pontos estamos em condições de falar na forma como Euclides definiu um plano. Na geometria Euclideana, o Axioma 2 diz-nos que" três pontos definem um plano". Repare então na representação de um plano µ definido pelos pontos A, B e C diferentes e não colineares.

Este axioma depara-se constantementeà nossa frente. Pensa numa mesa, certamente que o mais importante é a sua estabilidade e esta está associada aos "pés" em que assenta o tampo.Partindo do princípio que os pés de uma dada mesa são todos iguais e uniformes, poderiamos então pensar que quantos mais pés tiver a mesa mais estável ela é. Mas isso não é verdade. Por exemplo se todos os pés estiverem dispostos sob uma mesma recta,a mesa, por muitos pés que tenha, não se aguentará em pé. No entanto Euclides resolve esta situação aplicando Axioma 2. Este diz que "três pontos não colineares definem um plano". No caso da nossa mesa ela fica mais estável (nas condições já descritas) se por exemplo os seus pés assentarem em 3 pontos não colineares no tampo.

No entanto existem outras formas de definir um plano. Estas outras formas aparecem sob a forma de teoremas deduzidos a partir dos axiomas de Euclides. Temos então:

"uma recta e um ponto exterior a essa recta definem um plano".

"duas rectas concorrentes definem um plano".

"duas rectas paralelas definem um plano".

POSIÇÕES RELATIVAS DE RECTAS A PLANOS NO ESPAÇO

Um exemplo intuitivo desta primeira situação é considerar a superfície de um lago como um plano e uma cara como uma recta e depois imaginar que se mergulha uma parte da cara no lago.

Se a recta e o plano têm, como neste exemplo intuitivo, um e um só ponto em comum, dizemos que a recta e o plano são secantes e a intersecção de ambos dá o ponto de intersecção da recta com o plano.

Se a recta é secante ao plano e é perpendicular a todas as rectas contidas nesse plano, dizemos que a recta é perpendicular a esse plano.

Euclides demonstrou o chamado critério de perpendicularidade de recta e plano. Trata-se de um teorema que nos diz que "se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano então ela é perpendicular ao plano".

Se a recta e o plano têm mais do que um ponto em comum então, pelo Axioma 3, dizemos que a recta está contida nesse plano.Dizemos também que a recta e o plano que a contem são paralelos em sentido lato e a intersecção de ambos dá a recta.

Se a recta e o plano não têm nenhum ponto em comum dizemos que a recta e o plano são paralelos em sentido lato e a intersecção de ambos dá o conjunto vazio.

Euclides demonstrou aquilo a que ele chamou Critério de Paralelismo de Recta e Plano que nos diz que "se uma recta é paralela a uma recta contida numplano, então é paralela a esse plano".

POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS NO ESPAÇO

Para falarmos das posições relativas de dois planos no espaço vamos começar por recordar o Axioma 4 que nos diz que "a intersecção de dois planos concorrentes é uma recta".Chamamos então planos concorrentes a quaisquer dois planos que tenham uma e uma só recta em comum. Os planos concorrentes dividem-se em dois grupos consoante o ângulo que formam entre si:

dois planos concorrentes dizem-se perpendiculares se formarem entre si um ângulo de 90°, isto é, se em cada um deles existir uma recta perpendicular ao outro. A intersecção de ambos dá uma recta(r).

O teorema que diz "se um plano contém uma recta perpendicular a outro, então os dois planos são perpendiculares" foi demons- trado por Euclides e este deu-lhe o nome de Critério de Perpendi- cularidade de Dois Planos.

Senão os dois planos concorrentes chamam-se oblíquos, e a sua intersecção dá uma recta ( r ).

Se os dois planos não são concorrentes dizemos que são paralelos e dividem-se em dois casos:

Dois planos dizem-se coincidentes ou paralelos em sentido lato se tiverem mais do que uma recta em comum.

Dois planos dizem-se estritamente paralelos se não existir nenhum ponto em comum aos dois planos,e a intersecção de ambos é nula.

Euclides demonstrou o Critério de Paralelismo de Dois Planos que nos diz que "se um plano contém duas rectas concorrentes a outro plano então os dois planos são paralelos ".

r//µ e s//µ e rcß e scµ então µ//ß

Vamos agora, enunciar alguns resultados demonstrados por Euclides e que estão associados aos critérios de perpendicularidade e de paralelismo, enuciados anteriormente.

Teorema 1: Dois planos distintos paralelos a um terceiro, são estritamente paralelos entre si.

Este teorema, garante a transitividade da relação de paralelismo.

Teorema 2: Se dois planos são perpendiculares à mesma recta, então são paralelos.

Teorema 3: Um plano corta planos paralelos segundo rectas paralelas.

POSIÇÕES RELATIVAS DE RECTAS NO ESPAÇO

Agora que já definimos o que é um plano e como estes se relacionam no espaço já estamos em condições de definir as posições relativas de rectas no espaço.

No espaço duas rectas podem ser classificadas como complanares ou não complanares.

Duas rectas dizem-se complanares se e só se estão contidas num mesmo plano. A forma como estas se relacionam posicionalmente nesse plano já foi abordada anteriormente em "posições relativas de duas rectas num plano". Vamos apenas resumir este capítulo esquematicamente.
Se não existe nenhum plano que contenha as duas rectas então dizemos que estas são não complanares.

Duas rectas r e s não complanares dizem-se perpendiculares se r for perpendicular a duas rectas secantes complanares a s.

Senão as rectas não complanares dizem-se oblíquas.

PROJECÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO SOBRE UMA RECTA E SOBRE UM PLANO

Seja r uma recta e A um ponto não pertencente a essa recta. Pelo ponto A passa uma e uma só recta perpendicular a r que a intersecte. Ao ponto B, ponto de intersecção dessa recta com r, chamamos projecção ortogonal de A sobre r. Seja ß um plano e A um ponto não pertencente a esse plano. Existe uma e uma só recta que passa pelo ponto A e é perpendicular ao plano ß. Como A não pertence ao plano ß então está contida em ß. Ao ponto B de intersecção de s com ß chamamos projecção ortogonal de A sobre ß.

PLANO MEDIADOR

Chama-se plano mediador do segmento [AB] que contém o ponto médio deste segmento.

Qualquer ponto do plano mediador está à mesma distância de A e de B.