Nesta secção deixaremos um exercício que pode ser apresentado aos alunos como actividade. É nossa convicção que depois de o aluno ter interiorizado plenamente a noção de derivada, está nas condições para o resolver.
Problema
Um canhão dispara um projéctil com uma velocidade inicial de 100m/s segundo a horizontal. A posição segundo a vertical que o projéctil toma em cada instante t é dada por
.
Determine:
a) A altura máxima que o projéctil atinge.
b) A velocidade máxima que o projéctil atinge segundo a vertical.
c) A distancia que o projéctil atinge quando chega ao solo.
d) A aceleração do projéctil segundo a vertical e segundo a horizontal
e) A velocidade segundo a vertical quando o projéctil percorre 50 metros na horizontal.
f) A expressão analítica que descreve a trajectória que o projéctil efectua.
Resolução:
a)
Sabemos que
ora
Temos
então
Assim
Logo
b)
c)
O projéctil chega ao solo com uma velocidade vertical cujo valor é o simétrico da velocidade vertical inicial, assim
Temos
e vem
, substituindo vem
d)
vertical
horizontal
e)
Temos
e pela alínea c)
Temos então
f)
Sabendo que a posição vertical do projéctil é dada por
e que a posição horizontal por
então consideremos o sistema:
e vamos ter
Logo a expressão analítica que descreve a trajectória do projéctil é
