Leonardo Pisano Fibonacci

    Nasceu em 1170 provavelmente em Pisa, Itália e morreu em 1250 provavelmente também em Pisa, Itália.
    Leonardo Pisano é mais conhecido por Fibonacci. Ele era filho de Guilielmo e de um membro da família Bonacci. Fibonacci usa, por vezes, o nome Bigollo, que pode significar "bom para nada" ou "viajante".
    Fibonacci aprendeu Matemática e foi educado no Norte de África onde o seu pai ocupava um posto diplomático. O trabalho de seu pai era representar os mercadores da República de Pisa que tinham comércio em Bugia, mais tarde chamada Bougie e que actualmente se chama Bejaia, um porto mediterrânico no noroeste da Algéria. Fibonacci aprendeu e viajou muito com o seu pai e reconheceu as enormes vantagens dos sistemas matemáticos usados nos países que visitou, acerca dos quais escreve no seu famoso livro " Liber abbaci " (1202).
    Fibonacci finalizou as suas viagens por volta do ano 1200, e por esta altura, regressou a Pisa. Aqui escreveu uma série de importantes textos que tiveram um papel muito relevante, quer pelos novos contributos que Fibonacci apresentava, quer por fazerem referência a algumas habilidades da Matemática da antiguidade. Como Fibonacci viveu antes da invenção da imprensa, os seus livros eram manuscritos, o que significa que, para se ter uma cópia de uma das suas obras, era preciso reescrevê-la manualmente. Apesar dessas dificuldades conseguimos hoje em dia, afortunadamente, ter cópias dos seus livros "Liber abbaci" (1202), "Pratica geometriae" (1220) , "Flos" (1225) e "Liber quadratorum" . Sabe-se ainda da existência de vários outros textos que Fibonacci escreveu mas que, infelizmente, se perderam e não chegaram até nós: perderam-se o seu livro "Di minor guisa" (sobre aritmética comercial) e os seus comentários no livro X dos "Elementos" de Euclides, que continha um tratamento numérico dos números irracionais, que Euclides já tinha abordado de um ponto de vista geométrico.
     Na altura havia pouco interesse por parte da Europa na escolaridade, o que talvez nos levasse a pensar que o trabalho de Fibonacci pudesse ter sido ignorado. Isto, no entanto, não aconteceu, em grande parte devido ao grande alcance que teve e ao interesse que despertou a sua obra.
     Fibonacci foi um contemporâneo de Jordano, mas era, de longe, um matemático mais sofisticado, cujos feitos foram largamente reconhecidos, e que ficou conhecido mais pelas aplicações práticas que desenvolveu do que pelos teoremas abstractos em que trabalhou. O imperador Frederick II tomou conhecimento do trabalho de Fibonacci e quis conhecê-lo. Um membro da côrte de Frederick II, Johannes Palermo, apresentou, como desafio, uma série de problemas a Fibonacci, que conseguiu resolver três deles, apresentando as suas soluções em "Flos", que , posteriormente, enviou a Frederick II.
    Após 1228, há apenas um documento conhecido que se refere a Fibonacci e que consiste num decreto emitido pela República de Pisa em 1240 e que concede a Fibonacci um salário, em reconhecimento pelos seus serviços à comunidade, quer em assuntos de contabilidade, quer na instrução dos cidadãos.
     O livro "Liber abbaci", publicado em 1202, após o regresso de Fibonacci a Itália, era dedicado a Scotus. Esse livro baseava-se nos conhecimentos de aritmética e de álgebra que Fibonacci tinha acumulado nas suas viagens. Esta obra, que foi bastante copiada, introduzia o sistema decimal posicional hindu-árabe, o uso nos numerais árabes na Europa, que ficaram conhecidos por algarismos, e também estudava algumas equações lineares. A segunda parte de "Liber abbaci" contém um grande número de problemas destinados a mercadores; são problemas relacionados com o preço de bens, com o cálculo de lucros em transacções, com a conversão entre as várias moedas utilizadas nos países mediterrânicos, e outros problemas originários da China. Um outro problema da terceira parte de "Liber abbaci" levou à introdução dos conceitos de números de Fibonacci e de sucessões de Fibonacci, pelos quais Fibonacci é mais conhecido hoje em dia: "Um certo homem colocou um par de coelhos num síto rodeado por paredes a toda a volta. Num ano, a quantos pares de coelhos dará origem aquele par de coelhos se suposermos que, em cada mês, cada par de coelhos dá origem a um novo par que se começa a reproduzir a partir do segundo mês de existência?". A sucessão resultante é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … (Fibonacci omitiu o primeiro termo no livro "Liber abbaci"). Esta sucessão, na qual cada termo é a soma dos dois anteriores, provou ser extremamente útil e aparece em muitas áreas diferentes da Matemática e da Ciência. O "Fibonacci Quaterly" é um jornal moderno dedicado ao estudo da matemática relacionada com esta sucessão. Muitos outros problemas são apresentados nesta terceira parte, como por exemplo: "Em cada dia, uma aranha trepa tantos pés pela parede e, em cada noite, escorrega um número fixo de pés; de quantos dias necessita a aranha para chegar ao cimo da parede?"; "Calcular a quantidade de dinheiro que duas pessoas têm, após uma certa quantia ter mudado de mãos, sendo dados os aumentos e reduções proporcionais.". Há também problemas que envolvem números perfeitos, problemas que envolvem o teorema dos restos chinês e problemas envolvendo a soma de séries aritméticas e geométricas.
    Fibonacci estuda números como Ö10 na quarta parte do livro, quer através de aproximações racionais, quer através de construções geométricas.
    Outro dos livros de Fibonacci é "Pratica geometriae", que foi escrito em 1220 e dedicado a Dominicus Hispanus. Este livro contém uma grande colecção de problemas da Geometria, divididos por oito capítulos e com teoremas baseados nas obras de Euclides "Elementos" e "On Divisions". Além disto, o livro inclui informação prática para "espectadores", incluindo um capítulo sobre como calcular a altura de objectos altos através do uso de triângulos semelhantes.
No seu livro "Flos" Fibonacci dá uma boa aproximação de uma raíz da equação "10x + 2x² + x³ = 20", um dos problemas com os quais tinha sido desafiado por Johannes Palermo que, não o tendo inventado, retirou-o de um livro de álgebra de Omar Khayyam, onde o problema estava resolvido através da intersecção de um círculo e de uma hipérbole.
    Fibonacci conseguiu demonstrar que a raíz da equação não era nem inteira, nem uma fracção, nem a raíz quadrada de uma fracção. Sem explicar os seus métodos, Fibonacci dá ainda a solução aproximada em notação sexagesimal: 1.22.7.42.33.4.40 (isto está escrito em base 60; logo será: 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 + …). Convertendo para o sistema decimal, obtemos 1.3688081075, e este valor está correcto até à nona casa decimal, o que é realmente um feito notável.
    "Liber quadratorum", que significa "Livro dos quadrados", escrito em 1225, é a obra mais grandiosa de Fibonacci, apesar de não ser o trabalho pelo qual se tornou famoso. Este livro é sobre Teoria dos Números e examina, entre outras coisas, os métodos para encontrar termos pitagóricos. Fibonacci começa por notar que cada número quadrado pode ser visto como construído a partir de somas de números ímpares, tendo por base a fórmula (n+1)² = n² + (2n+1): se n=0, temos o primeiro quadrado, o quadrado de 1 que é 1 (0+1); se n=1, temos o quadrado de 2, que é 4 e que se obteve somando 3 ao quadrado anterior (1+3); se n=2, o quadrado de 3 será obtido ao somarmos 5 ao quadrado de2, o que dá 9 (4+5 = 1+3+5 = 9); e assim sucessivamente.
    Para construir os ternos pitagóricos, Fibonacci procedeu do seguinte modo: como se quer encontrar dois quadrados cuja soma seja um quadrado, tomamos um qualquer quadrado ímpar como um dos dois quadrados pretendidos e encontraremos o segundo quadrado ao adicionarmos todos os números ímpares desde a unidade até ao primeiro quadrado, não incluindo este. Por exemplo, tomemos 9 (é quadrado e é ímpar) como um dos dois quadrados mencionados; o quadrado em falta será obtido através da adição de todos os números ímpares inferiores a 9, nomeadamente, 1, 3, 5 e 7, cuja soma dá 16. Ora, 16 é um quadrado que, somado a 9, dá 25, que é um quadrado.
     Fibonacci consegue demonstrar muitos outros resultados interessantes da Teoria dos Números, tais como: "Não há nenhum x e y, tais que x²+y² e x²–y² sejam ambos quadrados; e x⁴–y⁴ não pode ser um quadrado".
    Apesar de tudo, e ao contrário do que se possa pensar, grande parte dos trabalhos de Fibonacci foram ignorados, exceptuando o seu problema dos coelhos e o seu papel na expansão do uso do sistema numérico hindu-árabe. De facto, as suas grandes investigações no campo da Teoria dos Números foram, praticamente, ignoradas e até desconhecidas até à idade Média.

Referências Bibliográficas

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