ÂNGULOS E TRIÂNGULOS - UM OLHAR HISTÓRICO

        medições de ângulos   determinando alturas   Razões Trigonométricas   

 

A ideia de Eratóstenes

        Uma das primeiras aplicações da geometria euclidiana em grande escala data do tempo de Arquimedes ou, mais exactamente, do seu contemporâneo Eratóstenes, director da famosa Biblioteca de Alexandria, e cognominado "Beta", por ser o segundo em todas as coisas (o primeiro era Arquimedes, obviamente).

        A ideia de Eratóstenes para determinar o perímetro de um círculo máximo ou um meridiano da Terra era a seguinte. Imaginemos um plano vertical passando pelos pólos Norte (N) e Sul (S) e por um lugar A sobre a superfície da Terra. No ponto A espeta-se uma estaca [AP] com a direcção do fio de prumo, apontando, portanto, para o centro O da Terra, que é também o centro do meridiano NSA. O meio-dia solar é a hora a que o (centro do) Sol está sobre o dito plano. Se o ponto A estiver entre o Trópico de Câncer e o Trópico de Capricórnio, há um dia do ano, no meio do Verão em que a posição do Sol passa exactamente no zénite da estaca [AP], isto é, em que a estaca não produz qualquer sombra. Eratóstenes conhecia um lugar assim, a sul de Alexandria (B), no actual Assuão.

        Para completar os cálculos, haveria que medir a distância de A a B e o ângulo a que os raios solares fazem com uma estaca vertical em B, no mesmo dia e hora em que o Sol passa no zénite de A. Supondo que os raios solares são paralelos, aquele é também o ângulo ao centro AOB, pela proposição geométrica conhecida por "Teorema dos ângulos alternos-internos". É claro, por outro lado, que o ângulo ao centro AOB é proporcional ao comprimento do arco AB sobre o meridiano NSA (figura 1).

        Segundo o cronista Cleómedes, Eratóstenes teria estimado a distância de B a A em 5000 estádios, e o ângulo na 25ª parte de um ângulo raso, obtendo o resultado 2 ´ 25 ´ 5000 = 250 000 estádios para perímetro do meridiano terrestre. Para ter uma ideia deste valor, tenhamos em conta que, de acordo com Plínio, o estádio de Eratóstenes valia 300 cúbitos egípcios, e que 1 cúbito = 0, 525 m, o que dá o valor final para perímetro do meridiano terrestre em 39 375 Km. Este valor está aquém do valor actualmente conhecido por umas escassas centenas de quilómetros, o que é surpreendente para o carácter rudimentar das medições efectuadas.

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        Na verdade, Plínio atribui a Eratóstenes o valor ainda mais próximo de 252000 estádios, cerca de 24 660 milhas terrestres, talvez por ser preferível para as contas no sistema sexagesimal. Neste sistema, o ângulo raso era dividido em 180 partes ou graus (180º), e cada parte ou grau corresponderia, portanto, a um arco de comprimento 252 000 ¸ (2 ´ 180) = 700 estádios

        Os gregos desenvolveram outro método para medir o perímetro do meridiano terrestre utilizando uma estrela fixa em vez do sol. O método, atribuído a Possidónio, baseia-se na observação de que quando a estrela Canopos (C) se vê imediatamente acima do horizonte, na direcção de Rhodes, ela está na 24ª parte de um ângulo raso acima do horizonte em Alexandria. Como Rhodes e Alexandria estão sensivelmente no mesmo meridiano, e sendo o segmento HH’ a linha do horizonte em Rhodes (R) e o segmento II’ a linha do horizonte em Alexandria (A), ambas perpendiculares aos raios da Terra nos pontos de tangência R e A, respectivamente, tem-se a igualdade dos ângulos I’AC e ROA, e também dos ângulos I’LH’ e I’AC, pois o segmento HH’ é paralelo ao segmento AC (figura 2).

        A estimativa de Possidónio, de que o ângulo I’ AC é a 24ª parte de um ângulo raso, ou seja, 7, 5 º, que é também a medida do ângulo ROA, faz com que o comprimento do arco subtenso AR seja a 48ª parte do perímetro do meridiano terrestre. Faltava medir o comprimento deste arco, ligando Alexandria a Rhodes. Só que esta s duas cidades estavam separadas por mar. Possidónio toma o valor atribuído a Eratóstenes, segundo o qual o comprimento do arco AR é de 3750 estádios e, portanto, o perímetro do meridiano terrestre vem igual a 48 ´ 3750 = 180 000 estádios, menos de ¾ do valor obtido por Eratóstenes. A estimativa por Possidónio da elevação de Canopos estava errada, devia ter sido de 5, 25 º em vez de 7,5º. Este erro, transmitido à posteridade através dos trabalhos do geógrafo Strabo, haveria de ter uma grande repercussão nas navegações quinhentistas.

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  Medições de ângulos

        A proposição 1.9 dos Elementos de Euclides ensina a construir, com régua e compasso, a bissectriz AD de um ângulo geométrico Ð BAC dado (figura 3a). A prova de que a semi-recta AD é de facto a bissectriz recorre ao conhecido critério (LLL) de congruência de triângulos (figura 3b). Esta bissectriz é, também, o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados do ângulo dado.

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        A construção da bissectriz é o método mais básico para a graduação (divisão em partes iguais) de um arco de circunferência, ou de instrumentos de medição de ângulos (transferidor, quadrantes astronómicos, astrolábios, teodolitos, etc.).

        A designação de um ângulo como uma fracção de um ângulo reco é muito razoável e útil nas aplicações, nomeadamente, na construção de instrumentos, mas outras convenções foram sendo feitas desde a antiguidade. Já no tempo dos babilónicos e egípcios antigos o ângulo recto era suposto dividido a 90 partes iguais, ou graus, cada grau em 60 partes chamadas minutos, e cada minuto em 60 partes ou segundos. Ao todo, pois, o ângulo recto compreende 5400 minutos. A importância do ângulo recto como unidade natural está bem evidenciada nos Elementos de Euclides, pis é objecto do Postulado 4, o qual afirma que "todos os ângulos rectos são iguais". Recorde-se que Euclides define um ângulo recto como sendo um ângulo "igual" a um seu suplementar adjacente. Em versões mais modernas da geometria euclidiana esta proposição pode ser demonstrada, mas não se sabia como fazê-lo no tempo de Euclides, nem tal teria sido possível somente com os postulados que Euclides nos deixou. Efectivamente, como se sabe, a moderna concepção da geometria euclidiana muito deve aos geómetras que, desde finais do século XVIII, mas principalmente nas últimas décadas do século passado (Pieri, Pasch, Hilbert) procederam a uma profunda revisão dos fundamentos da geometria, completando o que Euclides deixara omisso ou incompleto (questões relativas à ordem e à continuidade, por exemplo).

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Um quadrante astronómico para medir a altitude do Sol, do séc.XVI

         Pelo método da bissectriz, a partir do ângulo recto, a melhor aproximação que se obtém de 1º é (90 ¸ 64)º, ou seja, aproximadamente, 1º26’ (um grau e 26 minutos); a partir de 2/3 de um ângulo recto, ou seja 60º, este método permite obter a aproximação (90 ¸ 96)º, ou seja, quase 56’’ (56 segundos). Um ângulo recto dividido desta maneira teria 96 partes e não 90.

        Para complicar as coisas, a Revolução Francesa procedeu a uma reforma dos pesos e medidas em 1792, que se traduziu na divisão do ângulo recto em 100 partes ou grados, e cada grado em 100 partes, também chamadas minutos, de modo a ficar mais conforme ao sistema métrico. E a unidade linear de comprimento, o metro (m) foi definida como sendo a milésima parte do comprimento de um arco de meridiano, junto ao equador, subtenso por um ângulo de 1 grado. O mesmo arco, se subtenso por um 1º babilónico, corresponde a 1 milha náutica. Um quarto de meridiano tem, pois, 90 ´ 60 = 540 milhas náuticas, ou 100 ´ 100 = 10 000 Km, donde a relação 1 Km = 0,54 milhas náuticas.

        Não há nenhum problema, do ponto de vista teórico, em dividir o ângulo recto em 100 partes iguais, ou em 96, em vez de 90, ou qualquer outro número de partes. É tudo uma questão de convenção.

        Convenção por convenção, pode-se fixar aquela que define o radiano como a medida de um ângulo ao centro que subtende o arco menor de comprimento 1 da circunferência unitária. Deste modo, definindo p como comprimento de uma semicircunferência unitária, o ângulo recto medirá p / 2 radianos.

 

 

   Determinando alturas

        Outra aplicação prática da geometria euclidiana, que conduz à trigonometria, consiste na utilização de triângulos semelhantes para a determinação de alturas de objectos distantes, como árvores ou torres. Como se sabe, a semelhança de triângulos é definida em termos de congruências de ângulos homólogos ou correspondentes, mas o resultado que mais interessa aqui é a proposição VI.4 de Euclides de que, em triângulos semelhantes, lados homólogos são proporcionais. Na semelhança D ABC ~ D DEF (em que os vértices A, B, C correspondem aos vértices D, E, F, respectivamente)

tem-se  AB/DE = AC/DF = BC/EF.

        Se designarmos por r a razão comum, resulta que os perímetros dos dois triângulos estão na mesma razão (AB+AC+BC) / (DE+DF+EF) = r.

        Com um pouco mais de engenho, utilizando o facto de a área de um triângulo ser igual a metade da área de um paralelogramo com a mesma base e altura, resulta que a razão entre as áreas dos dois triângulos é  area ( D ABC ) / area ( D DEF ) = r^2.

        Regressando ao problema da medição de alturas, imaginemos uma pessoa colocada em D com altura AD igual à altura do tronco da árvore BF, desejando medir a altura da árvore CF, como na figura seguinte. Necessita da ajuda de um amigo ou de uma estaca vertical de comprimento YZ com XZ = AD. Supondo conhecidos AD, YX e AB = DF, tem-se D AXY ~ D ABC, logo

  YX / AX = CB / AB, donde CB = AB * ( YX / AX ),

e finalmente CF = CB + BF = CB + AD.

        A medição da altura da árvore pode-se até fazer sem conhecer a distância AB, poupando o esforço físico do percurso mas onerando um pouco o esforço mental.

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        Mas desta vez há que fazer a medição de A, obtendo a relação AH / GH = AB /CB,

e repeti-la um pouco mais adiante em D, obtendo a relação DJ / IJ = DB / CB = (AB – AD) / CB.   Image1.jpg (6159 bytes)

        Temos então DJ/IJ = AB/CB-AD/CB = AH/GH-AD/CB, donde AD/CB = AH/GH-DJ/IJ

    Esta última relação permite calcular o valor desconhecido CB,  já que todos os outros são conhecidos.     

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Altura de uma torre, pelo método dos triângulos semelhantes, de acordo com Apianus, Quadrans astronomicus ( 1532 )

 

 
 
As razões trigonométricas

 

        Abstraindo das aplicações, e focando a atenção somente nas semelhanças inerentes à figura seguinte (verticais paralelas, ângulo recto em C), podemos dizer que o valor comum das razões (1) XY/AY = VW/AW = CB/AB

é determinado pelo ângulo geométrico Ð CAB. Para um ângulo mais pequeno Ð C’AB o valor da razão diminui, pois diminuem os numeradores mas permanecem os denominadores.

        Podemos dizer, portanto, que qualquer uma daquelas razões é uma espécie de medida da amplitude do ângulo Ð BAC. Mas o mesmo se poderia dizer de qualquer uma das razões

(2) AB/AC = AW/AV = AY/AX’

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ou de qualquer uma das razões (3) CB/AC = VW/AV = XY/AX

        Os geómetras não privilegiam nenhuma das razões anteriores, mas deram nomes a todas elas.

        Assim, no triângulo rectângulo D ABC, a razão (lado oposto / lado adjacente) = CB/AB (ou qualquer uma das suas iguais), é chamada a tangente do ângulo Ð A (=Ð BAC), abreviadamente

tg A=CB /AB

        A razão (lado oposto / hipotenusa) = BC/AC (ou qualquer uma das suas iguais) é chamada o seno do ângulo A, abreviadamente sen A = BC / AC

        Finalmente, a razão (lado adjacente / hipotenusa) = AB / AC é chamada o coseno do ângulo A, cos A = AB / AC

        Resulta imediatamente das definições que (4) sen A = cos C e cos A = sen C

        Além disso, como qualquer cateto é mais pequeno do que a hipotenusa, as funções seno e coseno têm sempre valores entre 0 e 1. No caso particular de o triângulo rectângulo ABC ser isósceles tem-se tg A = tg 45º = 1.

        Como as razões (1), (2) ou (3) só dependem da amplitude do Ð A e quaisquer dois ângulos congruentes têm a mesma amplitude, é conveniente saber os valores de tg A, sen A e cos A para diferentes ângulos. Desde muito cedo que estes valores foram tabelados. Mais abaixo está um exemplo de uma tal tabela. Por causa das relações (4) tais tabelas só precisam de ser feitas par ângulos entre 0º e 45º pois, por exemplo, para um ângulo entre 45º e 90º, que é da forma 45º + x, tem-se sen(45º + x) = cos(45º-x), com 45º - x entre 0º e 45º. O aspecto de tais tabelas pouco se alterou nos últimos 400 anos, excepto talvez no grau de precisão dos valores. Modernamente recorre-se às calculadoras para obter os valores desejados com boa aproximação.

        O caso 23º deve merecer atenção especial, por razões históricas, pois o ângulo compreendido por dois raios da Terra, um terminado no Equador e outro terminado no paralelo das Canárias. Colombo necessitou de calcular a razão entre os perímetros do Equador e desse paralelo, a qual é igual à razão entre os raios respectivos, conforme a seguinte figura, ou seja cos 23º » 0,92

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        A terceira coluna da tabela (parcial) seguinte exibe os valores da função secante. Os geómetras também deram nomes às razões recíprocas das razões (1), (2) e (3), respectivamente cotagente de A = cotg A = 1 / tg A, cosecante de A = cosec A = 1 / sen A secante de A = sec A = 1 / cos A

        As seis razões ou funções trigonométricas foram introduzidas pelos Árabes.

 

        Com excepção do termo seno, os nomes das funções têm uma explicação , simples em termos do chamado círculo trigonométrico, o qual é conhecido desde há, pelo menos, 500 anos. Pensemos numa circunferência de centro O e raio 1, conforme a figura seguinte. Deste modo, as razões em que o denominador é o comprimento do raio correspondem a segmentos com o comprimento do numerador.

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        Nesta figura é suposto o segmento [BD] ser tangente à circunferência no ponto C, [CA] perpendicular a [OB] no ponto A, e o triângulo OAD com ângulo recto em O. O raio [OC] tem comprimento 1, como se disse. Assim, atendendo às igualdades de ângulos (a ) assinaladas, sen a = AC/OC = AC, cos a = OA/OC = OA, tg a = BC/OC = BC cosec a = OD/OC = OD, sec a = OB/OC = OB, cotg a = CD/OC = CD

         Quanto ao nome seno, este deriva do latim sinus, que significa "baía" ou "cova" e parece ter origem numa tradução deficiente, pelos árabes, da palavra "Jya" utilizada por Aryabhata para nomear a razão AC / OC, palavra essa que significa "arco". Os árabes substituíram a palavra "Jya" por "Jaib" que deu no latim sinus.

        Lewis Carroll, o conhecido autor das aventuras de Alice, também lógico e matemático, designou as seis funções trigonométricas pelos símbolos seguintes:

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Qual é qual?