RESPOSTAS ÀS ACTIVIDADES PROPOSTAS:
Resolução do problema nº1 - Perigo na ponte ferroviária.
Como o Daniel volta para trás e já tinha percorrido 2/5 da ponte,ele agora só vai ter de andar esses 2/5 para sair dela. No entanto o Tiago que corre para a frente tem de percorrer o resto da ponte, que são 3/5. Há que ter em conta que apesar do Tiago ter mais espaço para percorrer, ele também tem mais tempo para o fazer ( visto que o comboio aproxima-se da ponte por trás dele). O Tiago e o comboio chegaram ao fim da linha ao mesmo tempo. Quando entrou na ponte o Daniel ía a sair, ou seja tinha andado 2/5. Como os irmãos correm à mesma velocidade também o Tiago tinha percorrido 2/5, ou seja para chegar ao fim da ponte já só lhe faltava percorrer 1/5. Uma vez que o Tiago chega ao fim da ponte ao mesmo tempo que o comboio e quando o comboio entra na ponte ele tem de percorrer 1/5 da ponte podemos dizer que o comboio anda 5 vezes mais rápido que o Tiago, ou seja, a velocidade do comboio é 5 vezes 15 Km/h.= 75 Km/h.
Resolução do problema nº 2 - Os filhos de Emír.
Sabemos que o emir tinha gémeos duplos, triplos e quádruplos.
Se quando separamos os gémeos duplos sobram 39 e o mesmo acontece quando separamos os gémeos triplos podemos concluir que o número de uns e outros é igual. Da mesma forma podemos dizer que este é coincidente com o número de gémeos quádruplos. Chamemos G a este número.
Como G é o número de gémeos duplos tem de ser um múltiplo de 2. Analogamente conclui-se que G também tem de ser múltiplo de 3 e 4.
m.m.c.{2,3,4}= 12 então G = 12k
Suponhamos que o números de gémeos duplos, triplos e quádruplos é 12.
Assim tínhamos 39 – 12 = 27 gémeos que não são quádruplos e
27 – 12 = 15 gémeos que não são triplos.
Todos os gémeos são duplos menos 39, ou seja, esses 39 são gémeos triplos, quádruplos ou filhos que não têm gémeo. Assim, pelos cálculos acima efectuados podemos dizer que existem
12 gémeos duplos
12 gémeos triplos
12 gémeos quádruplos
15 filhos que não têm gémeo
Então o emir tem 12+12+12+15= 51 filhos.
Encontrámos uma solução.
Será que existem mais?
Vejamos o que acontece se considerarmos que o emir tem 24( 24 é o múltiplo imediatamente a seguir) gémeos duplos, triplos e quádruplos.
Pelas razões atrás enunciadas o emir teria 24 gémeos triplos e 24 gémeos quádruplos o que é absurdo pois 24+24=48 que é superior aos 39 gémeos que sabemos não serem duplos. Chegamos ao mesmo tipo de absurdo se considerarmos que o emir tem qualquer outro número de gémeos duplo, triplo e quádruplo que não seja 12.
Resolução do problema nº 3 - A batalha de Hastings.
Seja y = nº de normandos
W = nº de saxões
y = w - 512
Disposição em quadrado, consideremos que é um quadrado perfeito.
Seja então S2 o nº de saxões e N2 o nº de normandos.
Temos S2 – N2 = 512 Û (S-N) (S+N) = 512
Vejamos os casos possíveis sabendo que ( S+N) > ( S –N)
( Cálculo auxiliar : 512 = 2´ 256 ; 512 = 4´ 128; 512 = 8´ 64; 512 = 16´ 32)
i) ( S+N) = 256 Ù (S–N) = 2 Þ
N+2+N = 256 Þ 2N = 254 Þ N = 127
S = 129
S/2 Ï N logo não podiam ter morrido metade dos saxões, portanto i) é condição impossivel.
ii) ( S+N) = 128 Ù ( S-N) = 4 Þ
4+N+N = 128 Þ 2N = 124 Þ N= 62
S= 66
Mas se N=62 e S=66 então y=3844 e w= 4356. No fim da batalha temos w= 4356/2 = 2178 sobreviventes, mas sabemos também que o nº de sobreviventes é o mesmo de ambos os lados, pelo que teriam morrido 3844-2178 = 1666 normandos.
Fazendo :
3844 normandos -------------- 1666 morreram
100 " -------------- x
x = 43%
Ou seja, sendo assim morreriam 43 % dos normandos. Dificilmente podemos considerar que 43 % é pouco.
iii ) ( S+N) = 64 Ù ( S-N) = 8 Þ
8+N+N = 64Þ 2N = 56 Þ N= 62
S = 36
Mas se N = 62 e S =36 então y = 784 e w =129.No fim da batalha w = 1296/2 =648 saxões sobreviventes então morreram 784-684 =136 normandos.
Fazendo:
784 normandos------------136 morreram
100 " ------------- x
x = 17.3% já pode ser considerado um número baixo de normandos mortos.
iv) (S+N) = 32 Ù ( S-N) = 16Þ
16+N+N = 32 Þ N = 8
S = 24
Mas se N=8 e S = 24 então y = 64 e w = 576 .Morreram w =576/2 = 288 saxões e por outro lado também 288 sobreviveram. Mas o nº de sobreviventes é igual e o nº inicial de normandos é apenas 64, pelo que é impossível.
v) ( S+N) = 16 Ù ( S-N) = 32 ; condição impossível pois (S+N) > ( S-N)
Conclusão: A 3ª condição é a única que satisfaz as condições do problema, logo no início da batalha o nº de normandos era 784 e o nº de saxões era 1296. Na batalha morreram 648 saxões e 136 normandos
Resolução do problema nº 4 - O importador de vinhos
Seja N o nº inicial da remessa e seja ai o nº de garrafas vendidas no i-ésimo dia, após a chegada da remessa,2 então:
N-1= 5a1 => N+ 4 = 5( a1 +1)
4a1 -1 = 5a2 => 4( a1 +1) = 5( a2 +1)
4a2 -1 = 5a3 => 4( a2 +1) = 5( a3 +1)
4a3 -1 = 5a4 => 4( a3 +1) = 5( a4 +1)
4a4 -1 = 5a5 => 4( a4 +1) = 5( a5 +1)
4a5 -1 = 5a6 => 4( a5 +1) = 5( a6 +1)
Multiplicando estas equações umas pelas outras e colocando em
evidência os termos semelhantes obtém-se:
45( N+4) = 56( a6+1)
Consequentemente, N+4 é um múltiplo de 56 e o menor valor de N para o qual isto se verifica é 56- 4 = 15621.
A remessa tinha então 15621 garrafas.
O número de garrafas existentes ao fim de cada dia é:
dia 1 15621- 1 = 15620
dia 2 15620×4/5- 1 = 12495
dia 3 12495×4/5- 1 = 9995
dia 4 9995×4/5- 1 = 7995
dia 5 7995×4/5- 1 = 6395
dia 6 6395×4/5- 1 = 5115
dia 7 5115×4/5- 1 = 4092
Deste modo, no início do 8º dia ele terá 4092 garrafas, número que não é divisível por 5.
Resolução do problema nº 5 - Orientando-se
Para melhor visualizar-mos o problema faça-mos um desenho
Pelos dados que nos dão, não perdemos generalidade se considerar-mos a seguinte
figura:
d( A,D) + d(D,B) = distância total percorrida pela Ema de A
para B. |
A é o controlo A B é o controlo B C e D são pontos que usamos para facilitar a resolução. d (A,C) = 150
. |
Sabemos que d( A,D) +d (D,B) = d( A,C) + d(C,B) = 750
E pelo teorema de Pitágoras:
(d(C,D))2 + (d(C,D))2
= (d(D,B))2
(600)2 + (150+d(A,D))2 = (d(D,B))2
Mas d(D,B) = 750 - d(A,D) logo (600)2 +(150 + d ( A,D))2 = (750 - d ( A, D))2
e finalmente d( A, D) = 100
logo a Ada andou 700 metros até ter mudado de direcção.
Resolução do problema nº 6 - Conclua por si
A fim de evitarmos estar sempre a escrever as frases para resolver o problema, consideremos cada uma das várias categorias de animais mencionados nas frases, por uma letra.
a - animais que existem nesta casa
b- gatos
c- animais de estimação
d- animais que gostam de comtemplar a lua
e - animais que detesto
f - animais que evito
g - animais carnívoros
h- animais que vagueiam durante a noite
i -caçadores de ratos
j - animais que falam comigo
l - cangurus
As 10 frases dadas podem agora ser representadas simblicamente recorrendo à sua estrutura lógica:
1) a =>b
2) c =>d
3) e =>f
4) g =>h
5) b =>i
6) j =>a
7) l =>~ c
8) i =>g
9) ~ j =>e
10) h =>d
Se quando detesto um animal, evito-o então se não o evito é porque não o detesto, isto é, ~f =>~e
Se não o detesto então falo com ele ( usando 9), ou seja ,
~e =>j
e segundo o mesmo raciocínio j=> a=>b =>i =>g =>h =>d => c => ~l
logo concluímos que ~f => ~ l que é o mesmo que dizer
que l = >f o que em linguagem corrente quer dizer " Eu evito cangurus ".
Resolução do problema nº 7 - A ementa do restaurante
Para resolvermos este problema, pensemos em todos os casos possíveis de se escolher uma entrada, um prato e uma sobremesa:
Sopa de legumes + omolete + fruta
Sopa de legumes + omolete + doce
Sopa de legumes + omolete + queijos
Sopa de legumes + filetes + fruta
Sopa de legumes + filetes + doce
Sopa de legumes + filetes + queijos
Sopa de legumes + feijoada + fruta
" " "
+ "
+ doce
" " "
+ "
+ queijos
" " "
+ carne assada + fruta
" " "
+ carne assada + doce
" " "
+ carne assada + queijos
Salada mista + omolete + fruta
Salada mista + omolete + doce
Salada mista + omolete + queijos
Salada mista + filetes + fruta
Salada mista + filetes + doce
Salada mista + filetes + queijos
Salada mista + feijoada + fruta
" "
+ "
+ doce
" "
+ "
+ queijos
" "
+ carne assada + fruta
" "
+ carne assada + doce
" "
+ carne assada + queijos
Então o Pedro e a Carla podem escolher 24 refeições diferentes.
Nota:
Este problema podia ser resolvido de uma
forma bastante mais rápida, mas não tão perceptível. Podíamos ter logo feito
2×4×3, porque podemos escolher duas entradas, 4 pratos e 3 sobremesas diferentes.
Se os namorados escolhessem, ao acaso, uma das refeições acima indicadas, a probabilidade de escolherem uma refeição sem sopa é 12(nº de casos favoráveis) / 24(nº de casos possíveis) = 1/2.