CURIOSIDADES

No fim de resolveres os problemas não te esqueças de ver as SOLUÇÕES

 A sequência de Fibonacci:

Leonardo de Pisa, chamado Fibonacci, discutiu discutiu no seu Liber Abaci (1202 e 1208) este problema:

Um certo homem pôs um par de coelhos num local rodeado por uma parede. Quantos pares de coelhos podem ser produzidos por esse par num ano, supondo que todos os meses cada par tem um par, que a partir do segundo mês se torna produtivo?

Assumindo que todos os coelhos são imortais, o número ao fim de cada mês segue esta sequência:

1    2    3     5    8    13    21     34    55    89    144     233…

(Leonardo omitiu o primeiro termo supondo que o par procriava imediatamente)

Ela foi baptizada sequência de Fibonacci, por Eduard Lucas, em 1877, quando a utilizou, e também outra sequência, a que foi atribuída o seu nome, ao procurar primos entre os números de Mersenne.

A sua primeira e mais simples propriedade é que cada termo é a soma dos dois que o antecedem. Assim sendo, o próximo será 144 + 233 = 377.

O problema de St. Ives:

A caminho de St. Ives encontrei um homem com sete esposas. Todas elas tinham sete sacos e cada saco sete gatos, cada gatos sete gatinhos. Gatinhos, gatos, sacos e mulheres, quantos íam para St. Ives?

Este problema é semelhante ao problema nº 79 do papiro de Rhind, escrito pelo escriba Ahmes e que data de cerca de 1650 a.c. referindo-se a:

A semelhança é notável. Além disso existe uma ligação na ordenação: que é cada termo é o produto dos dois que o antecedem.

Fibonacci, também inclui este problema no seu Liber Abaci .

A resposta ao problema será:

O problema de Waring:

Em 1770, Edward Waring escreveu no seu Meditations algebraice: "Todos os números inteiros são um cubo ou a soma de 2,3,4,5,6,7,8 ou 9 cubos."

Este dificil problema, ainda não foi completamente demonstrado, embora Hilbert tenha provado que para cada potência K existe um número, g(K), tal que qualquer número suficientemente grande pode ser representado, no máximo, por g(K) potências de ordem K.

Como é óbvio, nem todos os números são «suficientemente grandes», continuando a ser um problema determinar quais os números para cada potência K que requerem mais que g(K) potências para os representarem.

A hipótese de Waring estava correcta quanto aos cubos, embora apenas um limitado grupo de números precise de 9 potências. Estava também correcto quanto às potências de ordem 4.

Quadrados mágicos:

Um quadrado é mágico se se obtem o mesmo resultado efectuando a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal.

Verifique se o seguinte quadrado é mágico.

Os primeiros 9 números podem ser distribuídos num quadrado mágico de tal forma que todas as colunas, todas as linhas e as duas diagonais têm a mesma soma, 15.

Este quadrado tem várias propriedades. O número 5, o percurso médio entre 1 e 9, ocupa a célula central, como era de esperar.

Todas as 4 somas através da célula central 5 estão em progressão aritmética com diferenças de 1, 2, 3 e 4, rodando no sentido inverso aos dos ponteiros do relógio, desde 9-5-4 até 9-5-1.

As somas dos quadrados da primeira e terceira colunas são iguais: 4² + 3² + 8² =  2² + 7² + 6²= 89. Da coluna central resulta: 9² + 5² + 1² = 107 = 89 + 18.

Os quadrados da dos números das linhas somam 101, 83 e 101, sendo 101 - 83 = 18.

Existem apenas 8 formas para as quais o total mágico 15 pode ser efectuado adicionando 3 inteiros entre 1 e 9. Cada uma destas 8 formas ocorre uma vez no quadrado.

Padrões de Números

Aqui tens uns bons exercícios para utilizares a tua máquina de calcular!

Depois de calculares os valores numéricos das expressões em cada uma das seguintes situações, que conclusões podes tirar em relação ao padrão das soluções:

( a )

6 x 7=

66 x 67=

666 x 667=

6666 x 6667=

66666 x 66667=

. . .

( b )

1 x 1=

11 x 11=

111 x 111=

1111 x 1111=

11111 x 11111=

... 

( c )

8 x 8 +13 =

88 x 8 +13 =

888 x 8 +13 =

8888 x 8 +13 =

888888 x 8 +13 = 

Estes padrões estendem-se indefinidamente?

O número infinito

O infinito é um conceito que confundiu muita gente através dos séculos. Há muitos anos, no século V a.C., o filósofo grego Zenão, ao propor alguns paradoxos – exposições que contêm em si uma contradição – sobre este conceito, elevou a sua dificuldade. um desse paradoxo afirma que o lendário atleta grego Aquiles nunca conseguiria ultrapassar a mais lenta das tartarugas desde que ela iniciasse a corrida antes dele.

A argumentação desta afirmação baseia-se no facto de Aquiles ter sempre de atingir o ponto onde a tartaruga se encontrava e durante esse tempo a tartaruga já tinha avançado um pouco mais.

A experiência do senso comum diz-nos que há uma falha neste argumento, mas onde é que ele se situa?

Uma espécie de Magia 

Escolhe um qualquer dos números registados no quadro abaixo, digamos o 39. Agora, escolhe um segundo número que não esteja na mesma linha nem na mesma coluna do primeiro, por exemplo o 24. A seguir, escolhe um terceiro número situado numa linha e numa coluna diferentes das dos já escolhidos, seja o 10. Escolhe um quarto número que, mais uma vez, não pode pertencer às linhas ou colunas dos anteriormente escolhidos, pode ser o 8. Numa Linha e numa coluna ainda não utilizadas resta apenas um número, o 3. Os cinco números escolhidos somam 84. A propriedade interessante dos números dispostos neste quadro consiste em, independentemente da escolha efectuada e desde que se sigam as mesmas regras, a soma dos cinco números ser igual a 84.

Verifica por ti e tenta explicar porque é que funciona!

Números egípcios 

Se precisar de ajuda segue o link e consulta o quadro.

Números hexagonais

Indica os primeiros 7 termos da sequência dos números hexagonais.

Qual a regra de construção dessa sequência?