IRRACIONAIS
Voltando um pouco atrás na história da matemática, falemos um pouco da Escola Pitagórica. Nesta, surge a Teoria da Ordenação Matemática do Universo, e a ela é atribuída a celebre frase "Tudo é número". Embora bastante polémica, ela traduz a forma como os pitagóricos entendiam o Universo. Usavam números inteiros ou fraccionários para explicar as questões práticas e teóricas da vida do Homem.
Como consequência do Teorema de Pitágoras, descobriram que existiam segmentos, como a diagonal de um quadrado de lado 1, para os quais não havia números que representassem os seus comprimentos.
Atribuíram tal facto a uma falha de Deus, e entre eles decidiram não divulgar o problema.
Só um século mais tarde é que os intelectuais da época tiveram conhecimento de tal falha, e a filosofia dos pitagóricos começou a cair em descrédito. Como era possível existir um segmento e não existir um número que representasse o seu comprimento?
A demonstração clássica de que
não pode ser um número racional é apresentada por Aristóteles (385–322 a.C). Tratasse de um número irracional, porque não pode ser escrito como um quociente de dois números inteiros.
Não se pode dizer que os números irracionais foram descobertos pelos gregos; aliás passaram séculos até que fosse elaborada uma teoria geral destes números. A sua formalização deve-se ao matemático Dedekind.
Alguns números irracionais conhecidos:
p é o único número irracional e transcendental que ocorre na natureza, ele é o quociente do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro e a área de um círculo unitário.
No Antigo Testamento, o primeiro livro dos reis menciona que p é igual a três. Na Babilónia, por volta de 2000 a.c., supôs-se que p seria o 3 ou 3 1/8. O escriba egípcio Ahmes, no papiro de Rhind (1500 a.c.), afirmou que a área de um círculo é igual à de um quadrado com 8/9 do seu diâmetro.
Para os Gregos, que foram os primeiros matemáticos "puros", p tinha um significado mais profundo. Arquimedes, por meio do cálculo das áreas dos polígonos regulares com 96 lados, determinou o valor de p como estando entre 3 10/71=3,140 85… e 3 10/70= 3,142 857… Arquimedes encontrou valores mais simples para o valor de p.
O matemático mais bem sucedido e mais obsessivo foi Ludolph van Ceulen, que passou a maior parte da sua vida a calcular o valor de p. Primeiro determinou o seu valor correctamente com 20 casas decimais, depois com 32 e finalmente com 35. Infelizmente não viveu o suficiente para ver o seu feito publicado.
Os métodos que este usava eram basicamente os mesmos que Arquimedes.
Nenhum dos cálculos de Ludolph ou dos seus antecessores tinham mostrado qualquer regularidade nos algarismos decimais de p. François Viète (1592), foi o primeiro a encontrar uma fórmula para p:
Seguiu-se John Wallis com:
Em 1666, Isaac Newton chegou a 16 casas decimais utilizando apenas 22 termos da seguinte série:
Em 1673, Leibnitz descobriu que:
Em 1706, John Machin substituiu esta fórmula por uma outra que lhe permitiu calcular cem casas decimais, efectuando cálculos muito mais simples que os utilizados por Ludolph Van Ceulen.
Também Euler dedicou uma parte da sua vida ao estudo de p. Ele foi o primeiro a revelar a relação entre p, e e i :
Outro matemático importante no estudo do p foi John Lambert, que provou que p é um número irracional.
Mais recentemente, Tamura e Kanada utilizaram o método de Gauss, da média aritmético-geométrica de dois números, para calcular o valor de p. Desta forma conseguiram determinar 16 milhões de casas decimais.
Outros matemáticos relevantes para o estudo do p foram :
John Dase
William Shanks
Augustus de Morgan
Fergunson
Martin Gardner
Lindemann
e =2, 718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247...
Base do logaritmo natural, ou logaritmo neperiano. A designação e foi dada por Euler que provou que é o limite de :
quando x® ¥ .
Newton demonstrou em 1665 que:
Logo,
Esta série é calculável uma vez que os seus termos decrescem muito rapidamente. Lambert, provou que e, tal como p , é irracional.
Ermite em 1873 provou que e também é um número transcendental.
O e está ainda presente na relação de Euler,
Mais geralmente, está relacionado com as funções trigonométricas através da fórmula:
F = 1, 61803 39887 49894 84820 45868
A proporção divina ou quociente dourado é equivalente a:
No pentagrama, que os pitagóricos viam como o símbolo da saúde, o quociente AB/BC é o quociente dourado.
Euclides, no seu livro Elementos, chama a esta divisão "o quociente do extremo e da média", usando-o para construir o primeiro pentágono regular, os dois mais complexos sólidos platónicos, o dodecaedro e o icosaedro.
Existem algumas evidências de que o quociente era importante para os egípcios, já que o utilizavam na construção das suas pirâmides. O papiro de Rhind refere-se a um "quociente sagrado" .
Os gregos provavelmente utilizaram-no na arquitectura, mas não existem provas desse facto.
Kepler, que baseou a sua teoria cósmica nos cinco sólidos platónicos, entusiasmou-se com a proporção divina, afirmando: "A geometria tem dois grandes tesouros, um é o teorema de Pitágoras, o outro é a divisão de uma linha no quociente do extremo e da média, o primeiro compara-se a uma médida de ouro, o segundo a uma joia preciosa."
Ao número F também se dá o nome de "Número de Ouro"
Também em outros ramos da Arte, este número aparece inúmeras vezes ligado a uma certa concepção estética.
Na época renascentista, os artistas utilizavam regularmente a secção dourada, dividindo a superficie de uma pintura em proporções, tal como os aquitectos utilizavam para dividir a superficie de um edifício.
O psicólogo Gustav Fechner deu uma nova vida a este aspecto estético do quociente dourado na sua tentativa de estabelecer a estética numa base experimental.
O quociente dourado, está intimamente ligado à série de Fibonacci. Tal como F 2, as potências superiores de F podem ser expressas simplesmente em termos de F.
| F 2 | F 3 | F 4 | F 5 | F 6 |
| F +1 | 2F +1 | 3F +2 | 5F +3 | 8F +5 |
Cada potência é a soma das duas
potências que a precedem e os coeficientes de F formam novamente a sequência de Fibonacci, tal como as partes inteiras
das potências.
