QUALIDADES OU DEFEITOS?

Nesta página vamos falar acerca de alguma propriedades dos números.

Amigáveis Catalan Cíclicos Fermat
Mersenne Pentagonais Perfeitos Poligonais
Primos Quadrados Sorte Triangulares
  Números perfeitos:

Os primeiros quatro números perfeitos são: 6, 28, 496 e 8128.

O 28 é o segundo número perfeito, seguindo-se a 6, o que significa que 28 é a soma dos seus divisores, incluindo a unidade, mas excluindo-se ele próprio:

28 = 1+2+4+7+14

Estes números eram conhecidos dos gregos. Nicómino e Lâmblico, listaram os quatro ( 6, 28, 496 e 8128) e Lâmblico supôs que existiria um número perfeito para cada número de algarismos e ainda, não só que eles acabavam em 6 ou 8, o que é verdade, mas que os seis e os oito alternavam, o que é mentira.

O livro de euclides, Elementos, não se limita apenas à geometria. Ele provou no livro IX que , "Se tantos números quantos quisermos, começando pela unidade, continuarem em dupla proporção até à soma de todos ser um primo e ainda se a soma multiplicada pelo último perfizer um número, o produto será um número perfeito.

Por outras palavras, se, por exemplo 1+2+4+8+16 for primo ( o que de facto é, uma vez que 25-1=31), 31´ 16 é pereito. De facto é 496 o 3º número perfeito.

Euclides provou apenas que a sua regra era suficiente. Foi Euler, 2000 anos depois, que provou que todos os números pares perfeitos ( os números ímpares perfeitos são um caso á parte) são da forma 2n-1(2n-1), onde 2n-1 é um primo de Mersenne Mn.

Os números perfeitos, correspondem um por um aos primos de Mersenne.

Euler afirmou que 231 -1= 2 147 483 647 é um número primo, sendo este o mair presentemente conhecido. Consequentemente é o último dos números perfeitos superiores, o que depende do facto de ser o maior número perfeito conhecido no presente e provavelmente o maior que alguma vez será descoberto, uma vez que sendo meramente curiosos, sem terem utilidade, não é provável que alguém tente encontrar outro para além deste.topo.gif (883 bytes)

 

Números triangulares:

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Os Gregos deram nome aos números triangulares, formando-os adicionando sucessivamente os termos da série 1+2+3+4+5+...

A fórmula geral do número triangular n, designada por Tn , é ½ n(n+1) e a sequência começa por 1 3 6 10 15 21 28...

½ n(n+1) é também um coeficiente binomial, pelo que os números triangulares deveriam aparecer no triângulo de Pascal. Eles aparecem como a terceira diagonal em cada direcção.

Para todos os números triangulares Tn , há um número infinito de outros números triangulares, Tm , tal que Tn Tm é um quadrado. Por exemplo, T3 ´ T24 = 302 .por outro lado, o quadrado de qualquer número ímpar é a diferença entre dois números triangulares primos entre si.

Existem outras relações entre os números triangulares e quadrados:

Existem alguns números que são simultaneamente triangulares e quadrados. O primeiro destes números é o 1 e os quatro seguintes são: 36, 1225, 41 616 e 1 413 721.

Eles são encontrados através do facto de 8Tn+1 ser sempre um quadrado. Se um número triangular for um quadrado , por exemplo x2, obtemos a equação de Pell:

Existe também uma relação entre os números triangulares e os cubos:

Ou seja, a soma dos primeiros n cubos é o quadrado do número triangular n; por exemplo, 1+8+27+64=100=102.

Por outro lado, nenhum número triangular pode ser cubo (ou até mesmo uma quarta e uma quinta potência).

Existem 40 números triangulares capicuas. Os menores, para além de 1, 3 e 6, são 55, 66, 171, 595, 666 e 3003.topo.gif (883 bytes)

 

NÚMEROS PENTAGONAIS :

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Os números pentagonais formam a série: 1 5 12 22 35 51 70 ...

A fórmula do número pentagonal n é dada por:

A fórmula, é claro, produz valores quando n é negativo, de uma forma que os diagramas não fazem. Devido a este facto, a sequência em ambas as direcções é: ...40 26 15 7 2 0 1 5 12 22 35 60...

Se estes números estiverem organizados por ordem ascendente, um padrão diferente pode ser visto nas suas diferenças:

1    2    5    7     12    15    22    26     35    40    51    57     70    77    92    100

1    3    2    5     3    7    4    9     5    11    6    13     7    15    8

As diferenças alternadas formam os números naturais, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... e os números ímpares, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13...

Euler, descobriu um teorema muito importante envolvendo esta sequência. Começou por multiplicar o produto infinito:

(1+x) (1-x2) (1-x3) (1- x4 ) ...

descobrindo que os primeiros termos eram:

1-x - x2 + x5 + x7 – x12 – x15 +...

Euler interessou-se ainda pelas partições de um número, ou seja, pelas formas em que ele pode ser representado como a soma de outros números positivos inteiros. 5 pode ser particionado de 7 maneiras: 5 é 5, ou 4+1, ou 3+2, ou 3+1+1, ou 2+2+1, ou 2+1+1+1, ou 1+1+1+1+1.

O número de partições de n é designado por p(n), tendo-se que:

P(n) = p(n-1) + p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+...

Esta sequência continua enquanto as partições de números positivos estiverem envolvidas. Neste caso p(0) = 1.topo.gif (883 bytes)

 

Os números quadrados:

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Os gregos representavam os quadrados, tal como todos os números poligonais, como um padrão de pontos. Para transformar um quadrado no próximo, basta acrescentar um bordo de pontos ao longo de dois lados. O tamanho deste bordos são os números ímpares 1, 3, 5,...

Segue-se que as somas da sequência de números ímpares são números quadrados. Podemos ver isso no seguinte padrão:

1 = 12

1 + 3 =22

1 + 3 + 5 =32

1 + 3 + 5 + 7 =42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 =52

...

Para finalizar, podemos representar os números quadrados recorrendo a outro padrão:

1 = 12

1 + 2 + 1 = 22

1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 32

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 42

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 +2 + 1 = 52

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Números da sorte:

Os números primos podem ser encontrados usando a peneira de Eratóstenes:

Escreva os inteiros por ordem e risque todos os outros números para eliminar os multiplos de 2. Depois, elimine todos os terceiros números na sequência original para se ver livre dos multiplos de 3, e assim sucessivamente.

Os números da sorte são construídos de maneira semelhante. Primeiro apenas os ímpares:

1    3    5     7    9    11    13     15    17    19 ...

Depois do 1, o ímpar que se segue é 3, por isso, risque todos os terceiros números desta sequência, ficando:

1    3    7     9    13    15    19 ...

O número que se segue é o 7, deste modo risque todos os sétimos números começados por 19...

Os números da sorte são os que ficam. A sequência começa:

1    3    7     9    13    15    21     25    31    33    37     43    49 ...

Os números da sorte e os números primos têm muitas propriedades em comum. surpreendentemente, os número da sorte pertencem aos primos, não pelo facto de cada primo ter apenas dois divisores, mas pela forma como podem ser construídos, utilizando a peneira de Eratóstenes.topo.gif (883 bytes)

 

Números de Catalan :

A sequência começa por: 1    2    5     14    42    132    429     1430    4862    16796 ...

A sequência de Catalan está no top 40 de popularidade. Ocorre com frequência, essencialmente em problemas combinatórios.

De quantas maneiras pode um polígono regular de n lados ser dividido em n-2 triângulos, no caso de diferentes orientações serem contadas separadamente?

De quantas formas podem ser colocados parênteses numa sequência de n+1 letras, de maneira a que haja duas letras entre cada par de parênteses?

ab de 1 forma : (ab)

abc de 2 formas: (ab)c a(bc)

abcd de 5 formas: (ab)(cd) a((bc)d) ((ab)c)d a(b(cd)) (a(bc)d)

...

De quantas maneiras podem n voto ser distribuídos entre 2 candidatos de forma que um candidato escolhido nunca esteja atrás na contagem?

As respostas a todos estes problemas é a obtida através da sequência dos números de Catalan.topo.gif (883 bytes)

 

Números de Mersenne:

O pastor Marin Mersenne era um filósofo natural, teólogo, matemático e teórico musical, sendo o espírito de um dos mais imprtantes grupos ciêntificos franceses do princípio do séc. XVII.

Era amigo de Descartes, com quem estudou no Colégio Jesuíta, Fermat, Frenicle, entre outros.

Em 1644, afirmou que os únicos valore de p menores ou iguais a 257 para os quais 2p-1 é primo são 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257. Mersenne considerava 1 como sendo um número primo.Mas, actualmente alista de números de Mersenne começa por M2.

Os primeiro quatro números, que são 3, 7, 31 e 127, são obviamente primos.

Todos os números de Mersenne são co-primos, o que prova que o número de primos é infinito, já que tem de haver pelo menos um novo primo por cada número de mersenne.

Mais recentemente, foram descobertos novos primos de Mersenne, cada um conduzindo a um número perfeito par.topo.gif (883 bytes)

 

Números amigáveis :

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220 e 284 formam o primeiro e menor par amigável. Cada um é soma dos divisores próprios do outro: 220 = 22 *5 * 11, sendo os seus divisores próprios 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 : total, 284. Que é igual a 22 * 71, sendo os seus divisores próprios 1, 2, 4, 71, 142 : total, 220.

O segundo para amigável, 17296 e 18416, foi descoberto por um árabe, Ibn al-Banna. Este par foi redescoberto por Fermat, em 1636, que redescobriu também a regra de Thabit:

Encontre um número n maior qur 1 e que torne estas 3 expressões números primos, simultaneamente:

a = 3 * 2n-1 b = 3 * 2n-1 -1 c = 9 *2n-1

 

Então o par 2n * a *b e 2n * c será amigável.

Euler foi o primeiro matemático a explorar os números amigáveis com sucesso, encontrando mais de 60 exemplos. Os seus métodos são ainda hoje a base de exploração.

Mais de mil pares de números amigáveis são agora conhecidos, incluíndo todos os possiveis em que o menor número é inferior a 1 milhão.

Os números de um par, são ambos pares ou são ambos ímpares. Todos os pares têm também um divisor comum.

Os números de todos os pares ímpares-ímpares conhecidos sõa também múltiplos de 3, pelo que numerosos matemáticos supõem que esta é uma regra geral.

A maioria dos números amigáveis têm muitos divisores diferentes. Será possível a uma potência de um primo, pn, ser um dos números de um par amigável?

Se o for, então pn é maior que 101500 e n é maior que 1400.topo.gif (883 bytes)

 

Números poligonais:

Os números poligonais foram estudados pelos gregos. Estes números eram um desenvolvimento natural dos números triangulares e quadrados, podendo ser também representados por padrões de pontos.

Os números poligonais podem ser construídos desenhando padrões semelhantes, mas com número maior de lados.

Para cada sequência poligonal, existem fórmulas que também formam um padrão:

Nome

Fórmula

N=1

2

3

4

5

6

7

Triangular

1/2*n(n+1)

1

3

6

10

15

21

28

Quadrado

1/2*n(2n-0)

1

4

9

16

25

36

49

Pentagonal

1/2*n(3n-1)

1

5

12

22

35

51

70

Hexagonal

1/2*n(4n-2)

1

6

15

28

45

66

91

Heptagonal

1/2*n(5n-3)

1

7

18

34

55

81

112

Octogonal

1/2*n(6n-4)

1

8

21

40

65

96

133

O número 1 é simultaneamente triangular, quadrado, pentagonal, etc., até ao infinito.

Os número hexagonais são iguais aos números triangulares, tomados alternadamente.

Os números perfeitos são hexagonais, logo, são também triangulares.

Existem outros padrões nesta tabela que são óbvios:

As diferenças na vertical são constantes para cada coluna

As diferenças horizontais são números naturais para os números triangulares, os números ímpares para os quadrados, a sequência 4, 7, 10, 13 …para os números pentagonais, 5, 9, 13, 17, …para os hexagonais, etc.

Tomando qualquer quadrado de valores da tabela, por exemplo 18-34 e 21-40, multiplicamos os cantos opostos, subtraimo-os e obtemos (18 ´ 40) - ( 34 ´ 21) = 720 - 714 = 6, que é o número triangular no topo da coluna 18-21.topo.gif (883 bytes)

 

Números cíclicos:

142 857 é um número adorado por todos os matemáticos recreativos. É o período decimal de 1/7 = 0,142 857 142 857 142 …

A multiplicação por qualquer número natural de 1 a 6 produz uma permuta cíclica dos mesmos números:

142 857 ´ 1 = 142 857

142 857 ´ 2 = 285 714

142 857 ´ 3 = 428 571

142 857 ´ 4 = 571 428

142 857 ´ 5 = 714 285

142 857 ´ 6 = 857 142

A multiplicação por números superiores produz de novo o mesmo padrão, com uma ligeira diferença. Por exemplo, 12 ´ 142 857 = 1 714 284, que se torna 714 285 quando o 1 excedente é retirado da frente e somado ao 4 na casa das unidades.

Multipliquemos, agora, 142 857 por si próprio:

142 8572 =20 408 122 449

Separe este número em grupos de 6 algarismos, a partir da direita e some-os: 122 449 + 20 408 = 142 857.

Este facto faz de 142 857 um número de Krapekar:

Se uma permuta cíclica de um número de Kaprekar for quadrada e somadas as "metades", o resultado é uma permuta cíclica do número original.

Generalizando, quando um número de Kaprekar com n algarismos é quadrado e os n algarismos da direita são somados aos n ou n-1 algarismos, o resultado é o número original.

Existe uma excepção a este padrão, a multiplicação por 7 ou múltiplos de 7:

142 857 ´ 7 = 999 999. Esta é uma propriedade de todos os períodos de decimais repetidos. Se o período de n for multiplicado por n, o resultado é tantos noves quantos algarismos tiver n.

Repare que esta relação é simétrica. Uma vez que 142 857 ´ 7 = 999 999, o período decimal de 1/7 é 142 877 e o período decimal de 1/142 857 é 7. De facto, 1/142 587 = 0,00 007 000 007 000 007 …topo.gif (891 bytes)

 

Números Fermat:

Fermat, em 1640, ao escrever para Frenicle, afirmou que 2n+1 é composto se n for divísível por um número ímpar, defendendo em seguida que todos os números são primos, embora não o conseguisse provar.

Os primeiros quatro valores, a começar por F0 são primos:

F0 = 21 + 1 = 3, F1 = 22 + 1 = 5, F2 = 24 + 1 = 17, F3 = 28 +1 = 257.

Mas o problema daí para a frente é mais complicado, uma vez que os números aumentam de tamanho muito rapidamente, mais que qualquer sequência que os matemáticos tivessem estudado estudado até então.

Acabou por se mostrar que Fermat estava errado!

Os números de Fermat, tal como os números de mersenne, tinham-se tornado uma base ideal para testes de primalidade e métodos de factorização.

Sabe-se agora, que os números de Fermat são todos compostos para n entre 5 e 19, inclusive, e para muitos outros valores maiores de n, embora apenas F5 , F6 , F7 e F8 tenham sido completamente factorizados.

Os números de Fermat têm outras propriedades além de serem aparentemente, quase todos compostos:

Fn+1 = F0 F1 F2 … Fn-1 +2

donde se segue que 2 números de Fermat só podem Ter um divisor comum, 2, o qual é impossível. Tendo em conta este facto, conclui-se que são todos co-primos, provando-se assim, em particular, que existe um número infinito de primos.

Nenhum Fn é triangular, excepto F0 = 3, e nenhum número de Fermat é um quadrado ou cubo.

Gauss demonstrou que um polígono regular com um número primo de lados só pode ser construído se esse número for primo de Fermat.topo.gif (891 bytes)

 

Números primos:

Um número primo é um número que só tem comum divisores a unidade e om próprio número.

Todos os números primos, à excepção de 2, são da forma 4n+1 ou 4n+3.

Qual das formas é mais comum?

A sequência de primos começa da seguinte forma (onde o tipo itálico mostra os primos da forma 4n+3): 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73…

Dos primeiro 20 primos, 11, uma maioria à justa são da forma 4n+3. Esta maioria continua até 26 849, ponto em que são iguais em número. Depois, 26 861 desequilibra a balança. Os dois primos seguintes, 26 863 e 26 979, são ambos do tipo 4n+3.

Embora os primos do tipo 4n+1 pareçam estar habitualmente em minoria, Littlewood demonstrou que a liderança muda de um para o outro um número infinito de vezes.topo.gif (891 bytes)