SOLUÇÕES
Padrões de números:
( a )
6 x 7= 42
66 x 67=4422
666 x 667=444222
6666 x 6667=44442222
66666 x 66667=4444422222
. . .
A solução geral será : se tivermos n algarismos 6 no primeiro factor e n-1 algarismos 6 no segundo factor ( que termina em 7) obteremos no produto n algarismos 4 seguidos de n algarismos 2.
( b ) O padrão constrói-se de um modo satisfatório por simetria:
1
121
12321
1234321
...
12345678987654321
Até aqui tudo bem, mas quando os números envolvidos têm 10 ou mais algarismos, ao efectuar-se a multiplicação surgem complicações e o padrão desintegra-se no meio.
( c ) A soma é sempre da forma 711...117, já que 8...88888888 x 8 = 711... 111104, este resultado deve-se ao facto de depois dos 2 primeiros algarismos determinados ter de adicionar 7 a 64 ( = 8 x 8), o que dá 71, colocando-se o algarismo das unidades, 1, à esquerda dos dois já determinados e transportando o algarismo 7 para uma situação idêntica à descrita.
Uma espécie de magia: A disposição dos números é feita simplesmente a partir de uma tabela de adição, à qual se retiram as colunas e linhas referentes às parcelas. O método indicado para seleccionar os cinco números do quadro garante que cada uma das parcelças da tabela original que deu origem ao quadro é adicionado uma e uma só vez. Assim , a soma mágica é igual à soma de todas essas dez parcelas, 84.
+ |
5 |
1 |
14 |
0 |
10 |
8 |
13 |
9 |
22 |
8 |
18 |
19 |
24 |
20 |
33 |
19 |
29 |
0 |
5 |
1 |
14 |
0 |
10 |
25 |
30 |
26 |
39 |
25 |
35 |
2 |
7 |
3 |
16 |
2 |
12 |
O número infinito:
Suponha-se que à partida Aquiles deu uma vantagem de 100 metros à tartaruga e que as velocidades de Aquiles e da tartaruga são, respectivamente, 10 ms-1. Então em 10 segundos Aquiles atinge o ponto de onde a tartaruga partiu, mas durante esse mesmo tempo a tartaruga afastou-se 10 metros. Aquiles demorará 1 segundo a atingir este segundo ponto, mas nesse segundo a tartaruga afastar-se-á mais um metro. Para atingir este último ponto Aquiles precisa de 0,1 segundos, e a tartaruga avançará mais 0,1 metros, e assim sucessivamente. em cada etapa percorrida, a distância entre eles vai diminuindo de acordo com o factor 0,1, mas o processo continua ad infinitum (até ao infinito)!
Pode a tartaruga ser alcançada?
A resposta a esta questão reside na soma dos incrementos de tempo que Aquiles leva a percorrer as sucessivas distâncias que existem entre ele e a tartaruga:
Apesar de existirem infinitos incrementos de tempo a ter em consideração, a sua soma é :
Um número finito. O que explica o paradoxo é o facto de ser finita a soma de um número infinito de parcelas.
Quadrado mágico:
| 12 | 13 | 1 | 8 |
| 6 | 3 | 15 | 10 |
| 7 | 2 | 14 | 11 |
| 9 | 16 | 4 | 5 |
NÚMEROS EGÍPCIOS
1993; 22222
Números Hexagonais
1
6=1+5
15=6+9
28=15+13
45=28+17
66=45+21
91=66+25
...