Problemas sobre áreas
"Os problemas são a força motriz da Matemática.Um bom problema é aquele cuja solução, em vez de simplesmente conduzir a um beco sem saída, abre horizontes inteiramentes novos."
Ian Stewart
Nesta página propomos alguns problemas sobre áreas, na qual tivemos o cuidado de colocá-los em ordem crescente de dificuldade. Os problemas são de grande acessibilidade, com possíveis modos distintos de resolução, e os mais interessados sempre podem tentar fazer uma generalização de cada um.
BOA SORTE !
Vamos começar com um jogo:
Era uma vez um agricultor, o Joaquim, que tinha uma vaca , que costumava pastar no seu terreno.
Um dia, ao chegar ao pé da vaca descobriu que ela já não tinha mais erva para comer.
Como ele ainda tinha mais três terrenos, ficou indeciso onde deveria pôr a vaca.
terreno 1 terreno 2 terreno 3
Ao deparar-se com este problema, o Joaquim, resolveu pedir ajuda a um amigo.
O amigo deu-lhe a sugestão, de escolher o terreno de modo a gastar o mínimo de vedação possível.
Se tivesses no lugar do Joaquim, qual o terreno que escolhias?
| terreno 1 | terreno 2 | terreno 3 |
E por outro lado, se ele fosse esbanjador qual é que seria?
| terreno 1 | terreno 2 | terreno 3 |
Imaginemos, que afinal, ele estava disposto a utilizar a cerca velha, e que queria pôr a vaca no terreno onde ela pudesse comer mais erva.
Desta vez, qual seria a tua escolha?
| terreno 1 | terreno 2 | terreno 3 |
E se o joaquim achasse que a vaca estava muito gorda, por isso teria que ficar no terreno onde comesse o menos possível.
Qual dos terrenos seria?
| terreno 1 | terreno 2 | terreno 3 |
Se o Joaquim tivesse como condição principal que o comprimento da cerca fosse igual ao espaço que a vaca teria para pastar?
| terreno 1 | terreno 2 | terreno 3 |
Um passeio de gaivota
O João foi passar férias à terra dos pais, onde lá perto havia um lago de forma circular e no meio tinha uma ilha também circular. Ele e os amigos costumavam alugar gaivotas para poderem atravessar o lago.
Sabendo que pedalando em linha recta, eles conseguem andar 160 metros, qual é a área do lago?
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Figura do lago
Quem leva o carro?
Eu e a minha irmã, antes de saír à noite, deitamos sempre uma moeda ao ar para decidir quem leva o carro. Utilizamos uma moeda de 50$ que tem um diâmetro de 30mm.
O chão do hall é formado por pequenos quadrados, iguais e bem alinhados. Reparamos que metade das vezes a moeda cai completamente no interior de um quadrado e que metade das vezes cai sobre as linhas de separação dos quadrados.
Quanto medem os quadrados do meu hall?
Uma herança díficil
Um proprietário rural possui duas parcelas de terra I e II , com as seguintes formas:
figura em construção, pedimos desculpa...
Ele pretende deixar, como herança a cada um dos seus quatro filhos, 1/4 da área das terras que possui. Para isso vai dividir a parcela I em quatro partes com a mesma área, cada uma delas com a mesma forma que I, e dividir a parcela II em quatro partes exactamente iguais (mesma área e forma).
Como deverá fazer?
Arco de ciclóide
A ciclóide é a curva gerada por um ponto P de uma circunferência quando esta rola, sem escorregar, sobre uma recta.
Quanto vale a área sob um arco de ciclóide?
NOTA:Neste problema devido à sua complexidade, pois a sua resolução poderá não estar ao alcance de um simples amante de problemas, decidimos apresentar directamente uma das possíveis demontrações.Esta demonstração foi apresentada pelo matemático Roberval (1602-1675),e já agora também podemos referir que este problema era muito famoso na sua época, sendo conhecido por "A Helena dos Geómetras".
DEMONSTRAÇÃO:
Na sua apresentação ao meio matemático, Roberval começou por considerar apenas meio arco de ciclóide e metade da circunferência geradora da ciclóide.
Para calcular metade da área da ciclóide, começa por subtrair a esta área a área do semicirculo. Para isso, supõe a área do semicírculo formada por infinitos segmentos (parece que ele se encontrava a par do método de Cavalieri para o calculo de áreas...), que imagina-os transportados paralelamente para dentro da ciclóide. Desse modo, obtém uma nova curva a que chama «a companheira da ciclóide».
Assim, a área de metade da ciclóide passa a ser formada pela soma de duas áreas:
- a área entre as duas curvas - a ciclóide e a sua companheira - que é igual a metade da área do círculo, ou seja, 0.5pr^2, pois é «formada pelos mesmos segmentos»;
- a área sob a companheira da ciclóide.
Roberval prova que esta última área vale metade da área de um rectângulo, e como a altura do rectângulo é 2r e a largura é igual a p r, isto é, metade do perímetro da circunferência geradora da ciclóide, pois ela rola sem escorregar. Então a metade da área do rectângulo vale p r^2.
E assim, a metade da área da ciclóide é igual a 1,5p r^2.
Logo, a área da ciclóide é igual a três vezes a área do círculo gerador!
