UM POUCO DE HISTÓRIA...
Os primeiros estudos da matemática grega tinham um objectivo
principal: compreender o lugar do homem no universo de acordo com um esquema racional. A
matemática ajudava a encontrar a ordem no caos, a ordenar as ideias em sequências
lógicas, a encontrar príncipios fundamentais. Era a mais racional de todas as ciências
e, embora existam poucas dúvidas quanto à aquisição da Matemática Oriental pelos
mercadores gregos, através das suas rotas comerciais, os Gregos descobriram que os
Orientais tinham deixado por fazer a maior parte da sua racionalização.
Porque é que a área de um triângulo era igual a metade da área de um rectângulo com a mesma base e altura?Esta questão surgia naturalmente ao homem que fazia perguntas semelhantes em outras áreas.
Pela primeira vez na história (sec V a.c.), um grupo de homens críticos, os "sofistas" abordavam problemas de natureza matemática como parte de uma investigação filosófica do mundo natural e moral, desenvolvendo uma matemática mais no espírito da compreensão do que da utilidade.
Existe um fragmento da atitude mental dos Sofistas, que apresenta raciocínios matemáticos com um assunto curioso e pouco válido, as chamadas lunulae- as pequenas luas ou crescentes delimitados por dois arcos circulares. O assunto (encontrar determinadas áreas delimitadas por dois arcos circulares que podem ser expressos racionalmente em termos dos diâmetros) relaciona-se directamente com o problema da quadratura do circulo, que constitui um problema central na Matemática grega.
Hipócrates (sec V a.c.) investigou as áreas de figuras planas delimitadas por linhas rectas ou por arcos circulares. Ensinou que as áreas se segmentos circulares semelhantes estavam entre si como os quadrados das suas cordas. A sua obra já se situa naquilo a que podiamos chamar tradição euclidiana.
O problema da quadratura do círculo é um dos "três famosos problemas matemáticos da antiguidade" que começavam a constituir objecto de estudo neste período. Estes problemas eram os seguintes:
1- A trissecção do ângulo
2- Duplicação do cubo
3- Quadratura do círculo
Pelo menos três grandes matemáticos deste período estiveram ligados à academia de Platão, nomeadamente Arquitas, Teleto e Eudoxo. O nome de Eudoxo (408-355 a.c.) está ligado à teoria das proporções, que Euclides dá no seu quinto livro, e também ao chamado "método da exaustão", que permitiu um tratamento rigoroso dos cálculos das áreas e volumes.
A teoria das proporções de Eudoxo pôs de parte a teoria aritmética dos pitagóricos, que se aplicava apenas a quantidades comensuráveis. Era uma teoria puramente geométrica, que , na sua forma axiomática, tornava superflua qualquer referência a grandezas comensuráveis ou incomensuráveis.
O método da exaustão, tornou-se o modelo grego e do Renascimento nas demonstrações de cálculo de áreas e volumes, era muito rigoroso e pode ser facilmente traduzido numa prova que satisfaça as exigências da análise moderna. Tinha a desvantagem de o resultado, para ser provado, precisar de ser conhecido antes.
Mais tarde, Euclides (sec III a.c.) foi responsável pelo desenvolvimento da matemática no cálculo das áreas. O raciocínio algébrico em Euclides é expresso totalmente numa forma geométrica. A expressão -raíz de A- é introduzida como sendo o lado de um quadrado de área A e o produto ab como sendo a área de um rectângulo de lados a e b. As equações lineares e quadraticas são resolvidas por construcções geométricas conduzindo à chamada "aplicação das áreas".
O maior matemático do período helenístico e de toda a antiguidade foi Arquimedes (287-212 a.c.). As mais importantes contribuições de Arquimedes na Matemática foram feitas no domínio daquilo a que agora chamamos "Cálculo Integral" - teoremas sobre áreas e figuras planas e sobre volumes de corpos sólidos. No livro de Arquimedes sobre "A esfera e o cilindro" encontramos a expressão para a área da esfera (apresentando como sendo quatro vezes a de um circulo máximo). A expressão de Arquimedes para a área de um segmento parabólico ( quatro terços da área de um triângulo inscrito com a mesma base que o segmento da parábola e cujo vértice é o ponto onde a tangente à parábola é paralela à base.
Em todos estes trabalhos, Arquimedes combinou uma originalidade de raciocínio surpreendente com uma mestria de técnica de cálculo e rigor na demonstração. É característico desse rigor o "axioma de Arquimedes" e o uso correcto do método da exaustão para provar os resultados das suas integrações. Arquimedes diferia da maior parte dos matemáticos gregos pela sua capacidade de cálculo.
Com o terceiro grande matemático helenístico, Apolónio de Perga (250-205 a.c.), encontramo-nos de novo inteiramente na geometria tradicional. Escreveu um tratado sobre a elipse, a parábola e a hiperbole, introduzidas como secções de um cone circular e, vai até à discussão das evolutas de cónicas. Conhecemos estas cónicas pelos nomes encontrados em Apolónio, referem-se a certas propriedades das áreas dessas curvas.
Já no sec XVII que Bonaventura Cavallieri (1635), professor da Universidade de Bolonha,estabeleceu uma forma simples de cálculo, baseando-se na concepção escolástica de indivisivel, o ponto gerando a recta e a recta gerando o plano através do movimento. Então, adicionou segmentos de recta para obter uma área e segmentos de plano para obter um volume, mas quando Torricelli (1608-1647) lhe demonstrou que dessa forma se podia provar que qualquer triângulo é dividido por uma altura em duas partes iguais, ele substitui "linha" por "faixa" , ou seja, uma linha de pequena espessura, e assim voltou a uma teoria atómica. As suas ideias sobre linhas que construíam uma área conduziram-no ao correcto príncipio de Cavallieri , o qual afirma que sólidos de altura igual têm o mesmo volume se as secções planas de altura igual tiverem a mesma área.
