A circunferência dos nove pontos*
Em 1821 o matemático francês Poncelet demonstrou que para todo o triângulo é possível encontrar uma circunferência passando pelos seguintes pontos:
A esta circunferência é costume chamar circunferência dos nove pontos. Durante o século XIX foram descobertos diversos resultados sobre esta circunferência, alguns dos quais iremos "verificar" usando o Geometer’s Sketchpd. |
1. Construa um triângulo e seguidamente a respectiva circunferência dos nove pontos.
2. Verifique os teoremas seguintes:
Teorema A. O raio da circunferência dos nove pontos tem um comprimento igual a metade
do comprimento do raio
da
circunferência circunscrita ao triângulo.
Teorema B. O centro da circunferência dos nove pontos está sobre a recta de
Euler, a meia distância entre o ortocentro
e o circuncentro.
Nota: A recta de Euler é a recta definida pelo ortocentro e pelo circuncentro de um triângulo.
Extensão: Verifique que o baricentro (ponto de encontro das medianas) também
está sobre a recta de Euler e
conjecture qual é a
sua posição em relação ao ortocentro e ao circuncentro.
Teorema C. A circunferência dos nove pontos é tangente à circunferência
inscrita e às três circunferências
ex-inscritas do
triângulo.
Nota: As circunferências ex-inscritas são tangentes às três rectas suporte dos lados do triângulo, mas são exteriores ao triângulo.
* Adaptado de uma ideia original de Eduardo Veloso/1996