| INSTRUMENTOS |
MATEMÁTICOS |
DE CÁLCULO |
| Matemática sempre em desenvolvimento A matemática tem-se desenvolvido ao longo dos séculos e cada civilização tem nesse desenvolvimento desempenhado um papel importante. Ao mesmo tempo que vão aparecendo novas ideias, são também desenvolvidas e exploradas ideias antigas, provenientes de diferentes civilizações. |
| ÁBACO |
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| Os ábacos contribuiram em muitos
aspectos para o desenvolvimento da matemática, por exemplo, em áreas como a teoria dos
números, a álgebra, e a trigonometria. Não se sabe quem inventou o
ábaco, mas pensa-se que se desenvolveu independentemente em diferentes países. Pensa-se a designação ábaco tenha tido origem numa palavra hebraica que significava pó. Antigamente, em Israel, os números representavam-se por 20 letras do alfabeto e mais quatro caracteres extra. Tal como no sistema grego, isso tornava quase impossíveis os cálculos -adições, subtrações, multiplicações e divisões- sendo apenas usado para registos oficiais do governo ou pelas autoridades religiosas. Em geral, as pessoas faziam os seus cálculos de um modo mais simples, desenhando marcas numa caixa de areia. Quando terminavam um cálculo, apagavam as marcas de areia e a caixa ficava pronta para outros. Os Romanos utilizavam hastes cravadas em tábuas, onde enfiavam pequenas pedras, às quais chamavam calculi. Para efectuar os seus cálculos um mercador romano deslocava as pedrinhas para cima e para baixo. |
| O ábaco que nos é mais familiar desenvolveu-se, provavelmente, na China. Os chineses colocavam pequenas contas em fios presos numa armação. Tal como no ábaco romano, moviam as contas para cima e para baixo, efectuando deste modo os seus cálculos. Actualmente, este sistema ainda é usado em algumas partes do mundo, principalmente na Ásia. |
| Ábaco Chinês: |
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| Números num ábaco chinês: |
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| Vários países desenvolveram o seu próprio tipo de ábaco. Aqui são mostrados alguns: |
Ábaco Russo |
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Ábaco Japonês |
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| Antes de existirem calculadoras electrónicas, a maioria dos estudantes de matemática usava tabelas de logaritmos. O matemático escocês John Napier (1550-1617) criou estas tabelas que permitem multiplicar números grandes através de simples adições. Napier também criou outras tabelas, que se observam em cima, e são conhecidas por réguas de Napier. As réguas permitem fazer multiplicações e divisões de números grandes. |
O exemplo a seguir mostra como se usam as réguas de Napier para multiplicar:
| 1548×43 Com as réguas fazem-se quatro multiplicações 8×43, 40×43, 500×43 e 1000×43. Somam-se os resultados de cada uma destas multiplicações e obtém-se a solução final. |
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Actividade na Sala de Aula
Régua de Napier
Copia a tabela para uma folha de papel e corta as colunas em tiras. Junta as colunas do 4 e do 3 de modo a que no topo se leia «43» e ao lado coloca a coluna de referência, como mostra a figura:
| Na linha VIII calcula 8×43. Soma os números em diagonal. |
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| Do mesmo modo, na linha IV calcula 4×43 e acrescenta um 0 ao resultado para obteres 40×43 |  |
| Na linha V calcula 500×43 e na
linha I calcula 1000×43. Soma os resultados: |
| 344 | |
| 1720 | |
| 21500 | |
+ |
43000 |
1548×43= |
66564 |
Com o auxílio das réguas de Napier experimenta fazer estas multiplicações:
| 2496×382 | 11243×5432 |
| 84×716 | 9875×3143 |
Na época dos Descobrimentos Portugueses, a partir do séc. XV, os marinheiros tiveram necessidade de recorrer a instrumentos náuticos (a balestilha, o quadrante, o astrolábio, o kamal, a roda das alturas, etc.) para se orientarem durante as suas viagens.
O quadrante era construído por um quarto de círculo construído geralmente em madeira e graduado de 0 a 90 graus. Sobre um dos lados encontravam-se duas placas de metal (perpendiculares relativamente a esse lado do quadrante) com oríficios ao centro através dos quais se observavam os astros. Um fio com um peso suspenso, abandonado à acção da gravidade (fio-de-prumo), indicava a vertical do lugar. Utilizava-se o quadrante para medir a altura do Sol ou, mais frequentemente, da estrela polar, processo que só era possível no Hemisfério Norte.
Actividade na Sala de Aula
Quadrante
Vamos ver quem da sala de aula consegue uma melhor aproximação para a altura de um edifício (qualquer um próximo da escola).
Divididos em grupos, os alunos terão de construir vários quadrantes, que utilizarão posteriormente para a obtenção dos dados necessários.
Sugere um processo que permita obter a altura do prédio e representa esquematicamente a situação.
De que forma o observador influencia o esquema anterior?
Supondo que se encontra de pé a 30m do edifício e que o ângulo segundo o qual o observa é de 54º, determine um valor aproximado da altura do prédio.
