UMA IDEIA GENIAL DE ARQUIMEDES

  De Arquimedes já todos, mesmo as crianças, ouviram falar algumas vezes. Até porque,  Arquimedes foi  certamente   (talvez o maior génio científico de todos os tempos) o primeiro a enfrentar de modo sistemático   e racional (não com o cordel mas com a mente!) o problema da medida da circunferência em relação ao seu diâmetro (diâmetro esse, considerado como medindo um metro), ou seja, a relação existente entre o perímetro da circunferência e o seu diâmetro.

No fundo, sob o aspecto numérico, o resultado que Arquimedes expõe no seu livro Sobre a medida do círculo não é senão o melhor do que o  que se poderia obter medindo cuidadosamente  uma circunferência com um cordel do tamanho do diâmetro. Aqui está o resultado, com as próprias palavras de Arquimedes:

  "A circunferência de um círculo é igual ao diâmetro que é mais uma certa porção do diâmetro que é mais pequena do que 1/7 do diâmetro e maior que os 10/71 do próprio diâmetro."

    Querendo isto significar que, o perímetro de uma circunferência mede, mais que 1/7 , e menos que 10/71  do seu próprio diâmetro, ou seja, a medida do perímetro encontra-se compreendida entre 1/7 e 10/71 do diâmetro da mesma.

Ao longo dos tempos os matemáticos têm tentado calcular p com um número cada vez maior de casas decimais. Os antigos Egípcios, Hebreus e os Chineses usavam o valor 3.

  Contudo, quando começaram a ser construídas máquinas em que na sua constituição constava a roda, tornou-se necessário um valor para p mais exacto do que 3. Por exemplo, Arquimedes inventou um processo para mover embarcações que usavam rodas dentadas e também desenvolveu uma bomba de irrigação baseada na rotação de uma hélice em espiral.

  Para obter valores aproximados de p, Arquimedes desenhou polígonos dentro e fora de circunferências (inscritos e circunscritos respectivamente). Quanto maior fosse o número de lados do polígono, mais correcta seria a aproximação obtida. Vejamos como se procedeu:

O método de Arquimedes

  Arquimedes usou polígonos regulares com 96 lados para demonstrar que p é maior do que 3×10/71 e menor que 3×1/7.

  Alguns matemáticos já calcularam  p com um grande número de casas decimais; é porém, pouco provável que seja necessário usá-lo com esse grau de aproximação. Como escreveu o astrónomo Simon Newcomb:

  "Dez casas decimais são suficientes para calcular o perímetro da Terra com um erro inferior a uma polegada e bastam trinta casas decimais para calcular o perímetro de todo o universo visível com um erro indetectável pelo mais potente dos telescópios."

  O p usa-se nos mais diversificados cálculos. Por exemplo, os Actuários (indivíduos que actualizam o número de pessoas vivas ao fim de um determinado número de anos), usam-no numa fórmula que serve para calcular o número de pessoas vivas num grupo ao fim de um determinado número de anos.

  Diversos matemáticos desenvolveram processos para determinar aproximações  a p. À medida que as sequências em baixo crescem, obtêm-se valores cada vez mais próximos de p.

Jonh Wallis (1616-1703):

Leibnitz (1646-1716):

Lord Brouncker (1620-1684):

 

  É muito conhecido que Arquimedes morreu no ano 212 a.C. quando os romanos conquistaram a sua cidade, Siracusa, que ele (diz a lenda) engenhosamente defendera com os famosos spechi ustori os quais concentravam os raios do Sol nas naves romanas e as queimavam, e com mil outras descobertas, que (diz ainda a lenda pela boca do histórico Plutarco) tinham aterrorizado os romanos. Quando, finalmente, os soldados romanos invadiram a cidade, Arquimedes estava completamente absorvido, meditando sobre algumas figuras que havia traçado com o dedo na poeira de uma estrada. Um soldado invasor estava prestes a pisá-lo com um pé, e então Arquimedes enfrentou-o dizendo-lhe: "Noli tangere circulos meos!"(Não tocar os meus círculos). O soldado indignado, matou-o (os romanos, de resto, como se sabe, ao contrário dos gregos, eram óptimos soldados mas maus matemáticos).

  Provavelmente não é mais que uma lenda. Mas, em cada lenda existe um grão de verdade. Deve ser verdade que Arquimedes reflectia sobre o círculo e estando tão ocupado com a sua reflexão, não se deu conta dos incêndios e dos massacres à sua volta.

 

 

Actividade na Sala de Aula

  Descobrir  p (aproximadamente 3,142):

  Como é que se pode "medir" p ?

  Podes fazê-lo com o auxílio de uma fita métrica ou de um pedaço de cordel como se mostra a seguir. Arranja alguns objectos circulares de dimensões diferentes, como latas de tinta, latas de refrescos, pratos ou cestos para lixo.

  Mede com uma régua o diâmetro das circunferências de cada um dos objectos e regista esses valores numa tabela, como a seguinte:

 

  Agora mede os perímetros de cada uma das circunferências. Passa o cordel à sua volta e segura com os dedos o ponto onde o cordel se une. Procura ser o mais exacto possível.

  Depois mede com a régua o comprimento do pedaço de cordel e regista o valor na tabela.

DIÂMETRO PERÍMETRO P\D Lata de tinta Cesto do lixo Prato Lata de refresco

  Divide o perímetro de cada circunferência pelo respectivo diâmetro. Observa os resultados- O que concluis?

  Se medires o diâmetro de outros objectos circulares, poderás saber imediatamente o seu perímetro?

  Podes verificar se está correcto medindo-o.

 

 

 

Actividade na Sala de Aula

Uma aproximação a p usando fósforos

  Da experiência que se segue resulta um número que é uma boa aproximação a p.

  São necessários fósforos sem cabeça. Desenham-se num papel linhas paralelas que distem entre si o dobro do comprimento de um fósforo. A, aproximadamente, 30cm de altura do papel deixam-se cair todos os fósforos. A seguir contam-se os fósforos que tocam ou cruzam qualquer das linhas.

  Depois calcula-se:

(total de fósforos que caíram)

/

(total de fósforos que tocaram ou cruzaram uma das linhas)

  O comprimento de um fósforo deve ser metade da distância entre as linhas.

  Quantos mais fósforos forem usados, mais correcta será a aproximação a p.

 

 

 

 

    A História do Número de Ouro

O Número de Ouro nasceu porque os matemáticos não eram capazes de exprimir o resultado da divisão entre dois números inteiros, a razão existente entre o lado do pentáculo (pentágono regular estrelado) e o lado do pentágono regular inscrito numa circunferência. Quando finalmente o conseguiram, chamaram-lhe Razão do Número de Ouro:

=

  Mais tarde vieram-se a descobrir algumas propriedades geométricas e outras ainda aritméticas, curiosas acerca deste número.

Actividade na Sala de Aula

Rectângulos Áureos (de ouro)

  Como sabe, o número de ouro é a razão entre o comprimento e a largura de um rectângulo construído a partir de um quadrado, seguindo os passos que de seguida se representam:

    Primeiramente, encontra-se o ponto médio de um dos lados do quadrado e do seu lado paralelo, traçando-se um segmento de recta que os une, de forma a dividir o quadrado ao meio. De seguida, traçasse a diagonal num dos rectângulos obtidos. Com um compasso, mede-se a diagonal obtida colocando a agulha do mesmo na extremidade da diagonal correspondente à base do rectângulo, traçando de seguida um arco como indica a figura.    

Ao rectângulo assim obtido chama-se Rectângulo de Ouro.

  Tendo em conta a construção anterior e considerando o lado do quadrado igual a 2 e a definição de nº de ouro, determina f;

  Usando a calculadora, determina a "melhor" aproximação de f;

  Desenha um outro rectângulo de ouro partindo de um quadrado de lado 5;

  A partir deste novo rectângulo determina novamente f;

  Que conclusão podes tirar?

  O Número de Ouro encontrou uma nova determinação no tratado de Euclides (séc. III a.C.) . Consistia na construção gráfica:

  O Número de Ouro era uma forma de representar o belo, por isso era bastante querido pelos artistas da época.

  A Divisão Áurea segundo Leonardo Da Vinci, também chamada Divisão Proportione  por Fra. Luca Paciolli di Bongo, no tratado do mesmo nome ilustrado por Leonardo Da Vinci, consiste em dividir um segmento de forma esteticamente mais agradável, ou seja, dividir um segmento em média e extrema razão. Tal divisão é mesmo considerada como Paradigma da Perfeição nas artes plásticas. Sendo assim, temos que a Arte Pictórica serve-se da Matemática como instrumento.   É frequente um artista ser também um geómetra, como foi Leonardo Da Vinci, ou entre nós, Almada Negreiros.

Actividade na Sala de Aula

  Número de Ouro

  Meça a altura do seu rosto, desde a ponta do queixo até à raíz dos cabelos e divida esse número pela altura que vai do arco supraciliar (sobre as sobrancelhas) até à ponta do queixo. Quanto mais este resultado se aproximar do número áureo, mais perfeitas serão as proporções do seu rosto. Também pode medir a distância que vai desde a ponta do nariz até ao extremo do queixo e dividi-la pela distância entre a comissura dos lábios e o extremo do queixo. Há pessoas em que o primeiro quociente se aproxima, quase milagrosamente, desta medida de perfeição, mas em contrapartida, o segundo se afasta de modo "escandaloso". Trata-se de gente muito atraente, sem dúvida, mas pouco fotogénica.

  Leonardo de Pisa, conhecido por Fibonacci (filho de Bonacci) e autor do primeiro tratado de Álgebra escrito por um cristão (Ábacus, 1228) descobriu a sucessão

1,1,2,3,5,8,13,21,34,............

em que cada termo é a soma dos dois anteriores e a razão entre dois termos consecutivos tende rapidamente para o Número de Ouro.

Actividade na Sala de Aula

  Considera a sucessão j_n cujos 5 primeiros termos são:

  a)Encontre uma expressão que defina a sucessão;

  b)Represente graficamente os 10 primeiros termos (use calculadora gráfica);

  c)Registe na tabela seguinte os valores dos termos cujas ordens se indicam:

  Como parece comportar-se a sucessão quanto à monotonia?

  Os termos de j_n tomam valores cada vez mais próximos de um certo número. Indique-o com aproximação a menos de 0.001.

  A sucessão aproxima-se do "Número de Ouro", um irracional cujo valor exacto é:

=