Homotetias.

 

 

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A noção de homotetia é fácilmente entendida se imaginarmos uma lâmpada dentro de uma caixa, e um foco luminoso que passa através de um  orifício  C , este vai refletir-se em [UV]; Se quisermos determinar a imagem de [UV] paralela a [UV], esta seria representada, na figura, por [U'V'] ;  Ou seja :  

            

U' é a imagem de U
V' é a imagem de V
W' é a imagem de W

            

 

De um modo geral a cada ponto de  [UV] corresponde um ponto de [U'V'] ; A correspondência estabelecida entre os pontos é unívoca, e é por isso uma aplicação.                                                                                                               

A esta aplicação dá-se o nome de homotetia .

 

Podemos então definir homotetia de centro C e razão r, H(C,r) ,  como toda a aplicação que transforma o ponto A num ponto A', tal que :

                         

      = r

 

 

Á imagem de um ponto damos o nome de homotético desse ponto, por exemplo, A' é homotético de A .

 

 

*

Propriedades importantes*

 

1* Se a razão, r, de uma homotetia é diferente de zero, só o centro da homotetia tem a imagem no centro .

 

2*  Numa homotetia , um ponto, o seu homotético , e o centro de homotetia são colineares, quer isto dizer que, qualquer ponto A e o seu transformado A' pertencem á mesma recta , que  também contém o centro da homotetia .

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3* Numa homotetia, um segmento de recta e o seu homotético são paralelos.

 

 

4* As homotetias conservam as amplitudes dos ângulos correspondentes em figuras homoteticas, quer isto dizer que os ângulos são transformados em ângulos   geometricamente iguais .

 

 

5*  Nas homotetias (positivas e negativas) os ângulos orientados conservam o sentido.

 

 

6* A razão entre os lados correspondentes de dois triângulos homotéticos mantém-se constante , isto é, há proporcionalidade entre os lados de um triângulo e os lados correspondentes de um triângulo homotético .

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7*  Numa homotetia, segmentos de recta são transformados em segmentos de recta de comprimentos proporcionais, em que o módulo de razão de homotetia é exactamente a constante de proporcionalidade .

 

8*  Duas figuras homotéticas são sempre semelhantes, mas duas figuras semelhantes nem sempre são homotéticas .

 

 

      *Classificação das homotetias*

 

 

Chamam-se homotetias positivas, ás homotetias de razão positiva; Ou seja cada ponto, U, e o seu homotético, U', ficam do mesmo lado do centro de homotetia.

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Chamam-se homotetias negativas , ás homotetias de razão negativa; Ou seja cada ponto,A, e o seu homotético, A', ficam em lados opostos ao centro de homotetia .

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Sabemos que em todas as homotetias, a forma das figuras não se modifica, o que pode ser alterada são as suas dimensões, ou seja, a classificação das homotetias pode, também , ser feita, através do valor absoluto da sua razão, deste modo vem:

 

Se |r| < 1 , a homotetia é uma redução

Se |r| > 1 , a homotetia é uma ampliação

Se |r| = 1  , a homotetia é uma isometria

 

 

 

Actividades Sobre Homotetias lapis.gif (10098 bytes)

 

 

Actividade 1

Pretendemos construír uma figura homotética, dum quadrado de lado igual a 2cm, cujo centro de homotetia é um ponto exterior ao quadrado e a razão é igual a  (-2\3) .  

                                                                                                           solução

                                                                                                   

 

Actividade 2     

  Como determinar o homotético dum  segmento ?

                                                                               

                                                                                                      solução

                                       

 

 

Actividade 3

Como determinar o homotético dum polígono ?                                                                                      

                                                                                             solução

                                                                

                                         

 

Actividade 4

 

Como determinar a homotética duma circunferência ?

                                                                         

                                                                                           solução

                                         

 

  Actividade 5

 

Como determinar a homotética duma curva ?

                                                                          

                                                                                          solução

                                           

                                                                          

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ICONE.GIF (2462 bytes)

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