Homotetias.

A noção de homotetia é fácilmente entendida se imaginarmos uma lâmpada dentro de uma caixa, e um foco luminoso que passa através de um  orifício  C , este vai refletir-se em [UV]; Se quisermos determinar a imagem de [UV] paralela a [UV], esta seria representada, na figura, por [U'V'] ;  Ou seja :  

De um modo geral a cada ponto de  [UV] corresponde um ponto de [U'V'] ; A correspondência estabelecida entre os pontos é unívoca, e é por isso uma aplicação.                                                                                                               

A esta aplicação dá-se o nome de homotetia .

Podemos então definir homotetia de centro C e razão r, H(C,r) ,  como toda a aplicação que transforma o ponto A num ponto A', tal que :

= r

Á imagem de um ponto damos o nome de homotético desse ponto, por exemplo, A' é homotético de A .

*

Propriedades importantes*

1* Se a razão, r, de uma homotetia é diferente de zero, só o centro da homotetia tem a imagem no centro .

2*  Numa homotetia , um ponto, o seu homotético , e o centro de homotetia são colineares, quer isto dizer que, qualquer ponto A e o seu transformado A' pertencem á mesma recta , que  também contém o centro da homotetia .

3* Numa homotetia, um segmento de recta e o seu homotético são paralelos.

4* As homotetias conservam as amplitudes dos ângulos correspondentes em figuras homoteticas, quer isto dizer que os ângulos são transformados em ângulos   geometricamente iguais .

5*  Nas homotetias (positivas e negativas) os ângulos orientados conservam o sentido.

6* A razão entre os lados correspondentes de dois triângulos homotéticos mantém-se constante , isto é, há proporcionalidade entre os lados de um triângulo e os lados correspondentes de um triângulo homotético .

7*  Numa homotetia, segmentos de recta são transformados em segmentos de recta de comprimentos proporcionais, em que o módulo de razão de homotetia é exactamente a constante de proporcionalidade .

8*  Duas figuras homotéticas são sempre semelhantes, mas duas figuras semelhantes nem sempre são homotéticas .

      *Classificação das homotetias*

Chamam-se homotetias positivas, ás homotetias de razão positiva; Ou seja cada ponto, U, e o seu homotético, U', ficam do mesmo lado do centro de homotetia.

Chamam-se homotetias negativas , ás homotetias de razão negativa; Ou seja cada ponto,A, e o seu homotético, A', ficam em lados opostos ao centro de homotetia .

Sabemos que em todas as homotetias, a forma das figuras não se modifica, o que pode ser alterada são as suas dimensões, ou seja, a classificação das homotetias pode, também , ser feita, através do valor absoluto da sua razão, deste modo vem:

Se |r| < 1 , a homotetia é uma redução

Se |r| > 1 , a homotetia é uma ampliação

Se |r| = 1  , a homotetia é uma isometria

Actividades Sobre Homotetias

Actividade 1

Pretendemos construír uma figura homotética, dum quadrado de lado igual a 2cm, cujo centro de homotetia é um ponto exterior ao quadrado e a razão é igual a  (-2\3) .  

                                                                                                           solução

Actividade 2     

  Como determinar o homotético dum  segmento ?

                                                                                                      solução

Actividade 3

Como determinar o homotético dum polígono ?                                                                                      

                                                                                             solução

Actividade 4

Como determinar a homotética duma circunferência ?

                                                                                           solução

  Actividade 5

Como determinar a homotética duma curva ?

                                                                                          solução