Os Gregos definiram a tangente a uma circunferência num ponto como uma recta que tem um ponto comum com a circunferência e todos os outros exteriores ao círculo definido pela circunferência.
     Esta definição que serve para a circunferência não serve para outras curvas.
     Observe-se a figura ao lado: a recta  tangente à curva no ponto P, tem com esta um outro ponto comum, o ponto  a recta  não é tangente à curva e tem com esta um único ponto comum, o ponto P.
     Surgiu assim um problema: o de determinar a recta tangente a uma curva num dos seus pontos.
     Problemas como este, que apareceram ao longo dos séculos, levaram a Matemática a dar-lhes uma resposta e, consequentemente, ao seu próprio desenvolvimento.
     Vamos, nós também, procurar a resposta para o problema.
     Consideremos a função definida em   que se encontra representada graficamente ao lado.


     Comecemos por determinar o declive da recta secante à parábola, sabendo que as abcissas dos pontos de intersecção são os seguintes:
      1.  e
      2.  e
      3.  e  (generalização com )
     Como o declive m de uma recta definida por dois pontos,  e  é  ou seja,  teremos
      1.
      2.
      3.
     À medida que h tende para zero, a recta secante tende para uma posição limite que é exactamente a tangente à curva no ponto de abcissa 1.
     Então o declive da tangente será o limite dos declives das secantes quando h tende para zero,
     O valor deste limite chama-se derivada da função f no ponto de abcissa 1 e representa-se por .
     Calculemos este limite:  =     =  = – 2.
     A tangente à curva no ponto  tem declive – 2 e uma equação desta recta será  Û