Vamos procurar relacionar o sinal da derivada de uma função num intervalo  com o crescimento ou decrescimento da função no referido intervalo.
     Da observação directa do gráfico ao lado conclui-se a ocorrência simultânea destes dois pontos:
           em qualquer ponto do intervalo  a derivada é positiva (a tangente ao gráfico em cada um desses pontos tem declive positivo);
           a função é crescente no intervalo

f é crescente em

     Podemos então resumir esta noção adquirida intuitivamente no teorema:
     Se uma função admite derivada positiva em todos os pontos de um intervalo  é estritamente crescente nesse intervalo.


     Observando agora o gráfico ao lado, verifica-se simultaneamente que:
           em qualquer ponto do intervalo  a derivada é negativa (a tangente ao gráfico em cada um desses pontos tem declive negativo);
           a função é decrescente no intervalo

f é decrescente em

     Resumindo:
     Se uma função admite derivada negativa em todos os pontos de um intervalo  é estritamente decrescente nesse intervalo.


     Observemos por último o gráfico ao lado. Tem-se simultaneamente:
           em qualquer ponto do intervalo  a derivada é nula;
           a função é constante no intervalo
     Intuitivamente podemos concluir:
     Se uma função tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo  então é constante nesse intervalo.

 
    

    I. Estudar a variação da função, em     Resolução detalhada
    II. Determinar os intervalos de monotonia da função definida em     Resolução detalhada

     Uma função f tem um mínimo relativo em  sse existe uma vizinhança de centro x0 e raio h de modo que, para todo o ponto dessa vizinhança diferente de x0, o valor da função é superior ao valor da função no ponto x0.


     Uma função f tem um máximo relativo em  sse existe uma vizinhança de centro x0 e raio h de modo que, para todo o ponto dessa vizinhança diferente de x0, o valor da função é inferior ao valor da função no ponto x0.


     Diz-se que uma função tem um extremo relativo em x0, se no ponto x0 a função tem um máximo ou um mínimo relativos.

            

   

    I. Determinar os extremos relativos da função definida em     Resolução detalhada
    II. Mostrar que a função definida em  tem um máximo igual a 2 para x = 1 e um mínimo igual a 0 para x = –1.    Resolução detalhada

     Intuitivamente, vamos procurar relacionar o sinal da segunda derivada de uma função num dado intervalo  com o sentido da curvatura do gráfico da função.
     As funções representadas ao lado são crescentes no intervalo
     Na primeira, a função cresce com a curvatura voltada para cima.
     A derivada f ' é crescente, logo
     Na segunda, a função cresce com a curvatura voltada para baixo.
     A derivada f ' é decrescente, logo
     Consideremos agora duas outras funções representadas graficamente ao lado. São ambas decrescentes no intervalo
     A primeira decresce com a concavidade voltada para cima. A derivada é crescente, logo a segunda derivada é positiva.
     A segunda função decresce com a concavidade voltada para baixo. A derivada é decrescente, logo a segunda derivada é negativa.

     Então:
               o gráfico da função tem a concavidade voltada para cima
               o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo

    
Dá-se o nome de ponto de inflexão ao ponto que separa uma parte convexa duma curva contínua de uma parte côncava.
     Quando existe derivada segunda nos pontos de inflexão, ela é nula.

     Estudar o sentido da concavidade e determinar, se existirem, os pontos de inflexão, de cada uma das funções definidas em  por:
    I.     Resolução detalhada
    II.     Resolução detalhada