Uma eternidade não seria tempo suficiente para conseguirmos observar todo este fractal, com os seu discos enfeitados com extremidades espinhosas, as suas espirais e filamentos enrolando-se em todas as direcções, exibindo volumosas moléculas infinitamente variadas.

Se examinarmos a côr do conjunto de Mandelbrot através da janela ajustável dum écran de computador,  vemos que é muito rica a sua complicação ao longos das diversas escalas. Uma catalogação das diferentes imagens no seu interior ou uma descrição numérica no seu contorno iria exigir uma quantidade infinita de informação.  

O conjunto de Mandelbrot é obtido quando submetemos os números complexos (números do tipo a + ib, em que, a e b são números reais e i é a constante imaginária) a um processo iterativo.

Ao aplicar este processo repetidamente, obtemos uma sequência de números u_n, cuja distância ao 0 (ou seja, o módulo |u_n|) se mantém finita ou tende para infinito.

É esta fronteira, entre o finito e o infinito que delimita o conjunto de Mandelbrot.

Como se constrói o Conjunto de Mandelbrot?

Para responder a esta pergunta, basta explicar como se atribui a cor a um número complexo a + ib qualquer, que vai ser desenhado como um ponto (a, b) no plano.

Vamos denotar por z o número anterior (a + ib).

Submete-se o número z ao seguinte processo iterativo:

em que w é um número complexo constante.

Observando o comportamento de z_n+1, ou seja, do seu módulo |z_n+1|, temos as seguintes possibilidades:

• |z_n| se mantém sempre finito - Atribui-se a cor preta a z.

• |z_n| tende para infinito - Atribuiem-se diferentes cores a z, dependendo do comportamento de |z_n|. A classificação é definida por quem desenha o fractal.

Um ponto é marcado neste fractal não quando satisfaz a equação, mas sim segundo um certo tipo de comportamento. Um comportamento possível pode ser um estado estacionário; outro pode ser a convergência para uma repetição periódica de estados;  e outro ainda pode ser um corrida descontrolada para o infinito.

Este comportamento de convergência para uma repetição periódica de estados é passível de ser observada e, depois, todos nos podemos interrogar se o resultado é infinito ou não. 

Este comportamento assemelha-se ao processo de feedback no mundo do dia-a-dia. Pode imaginar-se que estamos a montar um microfone, amplificador e colunas de som num auditório - estamos preocupados com o ruído estridente de feedback acústico. Se o microfone capta um som suficientemente alto, o som amplificado vindo das colunas irá entrar de novo no microfone num ciclo infinito, com um som cada vez mais elevado. Por outro lado, se o som é baixo irá apenas desaparecendo, até deixar de ser ouvido. Para construir um modelo para este processo de feedback poderíamos escolher um número inicial, multiplicá-lo por si mesmo, multiplicar o resultado por si mesmo, e assim sucessivamente, Iríamos descobrir que os grandes números conduzem rapidamente ao infinito:10,100,10000... Mas os números pequenos levam a zero: .