Construindo...

1^a Actividade:  Construção de um Fractal numa Folha de Papel

Material:

• Folha de papel A4

• Tesoura

Instruções:

1. Meça o comprimento da folha ( = a )

2. Meça a largura da folha ( = b )

3. Dobre a folha de papel ao meio

4. Faça 2 cortes de comprimento a/4 afastados de cada lado do papel b/4

5. Dobre segundo o segmento criado pelos dois cortes

6. Repita os passos 1 - 5, mas agora para a parte da folha que acabou de dobrar

7. Continue o processo o máximo de vezes possíveis

8. Dobre a folha A4 formando um ângulo recto

9. Dobre a parte da folha obtida no passo 5, de modo a formar um ângulo recto com a dobra do passo 8

10. Repita o passo 9 para as outras partes da folha

 Questões:

1. Conte os elementos em cada iteração e faça uma tabela.

2. Identifique o padrão de crescimento e indique a sucessão que permite calcular o número de elementos para a n-ésima geração.

3. Qual a área total ( isto é, depois de uma infinidade de dobras ) da superfície dos elementos ? ( Sugestão: Escolha um valor conveniente para a área do primeiro elemento )

4. Investigue o que acontece, se fizer um corte diferente, alterar o tamanho do corte ou aumentar o número de cortes.

Problema adaptado de:

"Fractal Cards: A Space for Exploration in Geometry and Discrete Mathematics", The Mathematics Teacher, 1998

2^a Actividade:  Construção da Curva de von Koch

Material:

• Programa de computador SketchPad

Instruções:

1. Abra um novo desenho e um novo script no menu FILE

2. Comece por activar a gravação do script clicando em REC

3. Posicione o desenho e o script lado a lado

4. Na área de desenho, construa um segmento de recta horizontal ( faça-o da esquerda para a direita )

5. Clique duas vezes no ponto da direita

6. Seleccione o ponto da esquerda, carregue no botão da direita e seleccione TRANSFORM, DILATE

7. No menu escreva, NEW = 1; OLD = 3

8. Repita o passo 6, mas no menu escreva, NEW = 2; OLD = 3

9. Seleccione o ponto de 2/3 como centro, clicando duas vezes no ponto

10. Seleccione o ponto 1/3, clique no botão direito e escolha TRANSFORM, ROTATE

11. No menu escolha o ângulo de 60^o e certifique-se que BY MARKED ANGLE não está seleccionado

12. Construa segmentos a ligar os pontos 1/3 e 2/3 a este novo ponto (para seleccionar dois pontos, seleccione um deles e em seguida seleccione o outro carregando em SHIFT ao mesmo tempo; para construir o segmento, carregue em CTRL+L)

13. Seleccione o segmento original, clicando no seu centro. Em seguida, carregue no botão direito e escolha DISPLAY, HIDE SEGMENT

14. Construa segmentos dos pontos originais para os pontos 1/3 e 2/3

15. Da esquerda para a direita, seleccione dois pontos consecutivos e carregue em LOOP. Faça isto percorrendo cada dois pontos consecutivos uma e uma só vez

16. Finalmente, seleccione os pontos 1/3, 2/3 e o último ponto criado, clique no botão direito do mouse e escolha DISPLAY, HIDE POINTS

17. Clique STOP e grave o script com o nome KOCH.GSS

18. Abra um novo desenho

19. Construa dois pontos da esquerda para a direita carregando no SHIFT enquanto clica o mouse

20. Clique FAST no script e escolha 3 níveis de recursão, isto é, o script vai fazer a 3^a iteração da construção da curva de von Koch

Deverá obter:

3^a Actividade:  Construção da Ilha de von Koch

Material:

• Programa de computador SketchPad

Instruções:

1. Construa o script referido na 2^a Actividade

2. Abra um novo desenho

3. Construa dois pontos

4. Clique duas vezes no segundo e em seguida seleccione o primeiro ponto

5. Clique no botão direito do mouse e escolha TRANSFORM, ROTATE

6. No menu, escolha o ângulo de 60^o e certifique-se que BY MARKED ANGLE não está seleccionado

7. Seleccione cada dois pontos do triângulo e clique em FAST no script

8. No menu escolha 3 níveis de recursão

Deverá obter: