D   i m e n s ã o

A dimensão fractal de um objecto mede o seu grau de irregularidade, a estrutura e o comportamento, quer se trate de uma figura ou de um fenómeno físico, biológico ou social. Consideramos que:

• um ponto possui dimensão zero
• uma linha recta dimensão um
• uma superfície plana dimensão dois
• um sólido dimensão três.

Os fractais têm dimensões diferentes e próprias de cada imagem.

Uma curva irregular tem dimensão entre um e dois, enquanto uma superfície irregular tem dimensões entre dois e três.

COMO SE CALCULA A DIMENSÃO DE HAUSDORFF ( DE FRACTAL ) ?

Uma linha pode ser dividida em n partes iguais (n=n¹), logo o tamanho de cada fragmento da recta é 1/n, um quadrado pode ser dividido em n² partes iguais, um cubo pode ser dividido em n³ iguais e um hipercubo divide-se em nⁿ partes iguais.

Nestes casos da Geometria tradicional a dimensão é igual ao valor do expoente de n. Isto acabará por levar a N=(L/n)^-d, em que L é o comprimento de uma linha, n é o número de partes em que a linha é dividida na iteração p da construção do fractal e N é o comprimento do segmento na iteração p da construção do fractal, em que p é um número natural qualquer.

Aplicando o logaritmo a ambos os membros obtemos a fórmula:

A d chama-se dimensão de Hausdorff ou dimensão de fractal.

Exemplo

Consideremos o seguinte fractal:

A construção deste fractal faz-se do seguinte modo:

1. Dado um segmento m (de tamanho 1), constróem-se 3 outros segmentos com metade do tamanho do segmento original m e apaga-se o segmento m.

2. Na iteração seguinte, repete-se o passo 1, mas com o segmento AB em vez de m, com os segmentos BC e CD em vez de m.

3. Nas iterações seguintes repete-se o passo 2 com os segmentos resultantes da iteração anterior.

Pela definição de dimensão definida anteriormente,

L = 1

N = (1/2)^p

n = 3^p

Portanto,