Floco de Neve e   Curva de von Koch  

A curva de Koch foi apresentada pelo matemático sueco Helge von Koch, em 1904, construindo-a a partir de um segmento de recta.

Construção da Curva de von Koch:

1. Divide-se esse segmento em três partes iguais.
2. Substitui-se o segmento médio por dois segmentos iguais, de modo a que, o segmento e médio e os dois novos segmentos formem um triângulo equilátero.
3. Obteve-se uma linha poligonal com quatro segmentos de comprimento igual.
4. Posteriormente, repetem-se os passos 1 - 3 para cada um dos segmentos obtidos.

Obtém-se assim, no limite de iterações, uma curva que pode ser considerada como um modelo simplificado de uma costa, no entanto, quando comparada com a última, esta curva tem uma irregularidade demasiado sistemática.

Tal como uma costa, a curva de von Koch tem um comprimento infinito.

Esta curva deu origem a um outro fractal, conhecido como floco de neve ou ilha de von Koch (modelo rudimentar da costa de uma ilha e muito semelhante a um floco de neve).

Este último modelo é construído partindo de um triângulo equilátero.

Construção da Ilha de von Koch:

• Constrói-se a curva de von Koch em cada aresta das três do triângulo.

Quanto à auto-semelhança, o modo de construção da curva de von Koch sugere que ela seja auto-semelhante.

Em cada passo, uma quarta parte da curva é semelhante à curva obtida no passo anterior, logo, não existe auto-semelhança nas curvas que se vão obtendo em cada passo. Contudo, pode-se prever a auto-semelhança na curva limite, embora uma demostração fosse necessária para o demonstrar.

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Aplicação às Sucessões