CURVA  DE   PEANO

"Sur une courbe qui rempli toute une aire plane"

Peano

A curva de Peano surgiu em 1890 e é construída por um processo análogo ao da curva de Koch, ou seja, por iteração gráfica.

Trata-se de uma curva do tipo "plane filling", isto é, uma curva que passa, pelo menos uma vez, por todos os pontos de um quadrado.

A descoberta desta curva chocou os matemáticos do século passado, conduzindo a uma crise acerca do conceito de curva. 

Depois de muito estudo e experiências efectuadas, concluiu-se que a curva de Peano passa por todos os pontos do quadrado pelo menos uma vez.

O processo iterativo inicia-se com um segmento de recta.

Construção da Curva de Peano:

1. Divide-se esse segmento em três partes iguais.
2. Sobre o troço médio, constrói-se um rectângulo bissectado pelo troço, formando dois quadrados com lado igual ao troço que lhes deu origem.

3. Em cada segmento dos nove restantes, repetem-se os passos 1 e 2, e assim sucessivamente

Cálculo da Dimensão da Curva de Peano:

1. Suponhamos que o segmento original tem comprimento 1 ( L = 1 )
2. Na iteração p, obteremos:
   1. 9^p segmentos ( n = 9^p )
   2. Os segmentos têm comprimento (1/3)^p ( N =(1/3)^p )
3. Portanto, a dimensão da curva de Peano é:

Isto quer dizer, que a curva de Peano (levando a construção anterior até uma infinidade de iterações), não é mais do que uma superfície completamente preenchida.

Observando a evolução da curva, deduz-se que esta superfície será um losango completamente preenchido.

Vejamos como evolui a construção desta curva:

Iteração 2:

Iteração 4:

Prevê-se, devido à dimensão, que no limite se obterá: