Soluções do Resolver...

1^a Actividade:  Triângulo de Sierpinsky

Respostas:

1. Supondo que a área do triângulo inicial é 1 unidade, prove que, à medida o número de transformações aumenta, a área do triângulo de Sierpinsky tende para 0.

Após a primeira iteração a área da ilha fica reduzida a 

Vamos fazer um estudo sistemático.

• Figura de Partida:

Área  total dos buracos: 0 

Área  total do triângulo de Sierpinski: 1

• Primeira iteração :

                            Número de novos buracos: 1

Área de cada novo buraco: ¼

Área total dos novos buracos : 1 x  ¼  = ¼

Área total  dos buracos: ¼

                            Área total do triângulo de Sierpinski: 1- ¼

• Segunda iteração

Número de novos buracos: 9

Área de cada novo buraco: 1/64

Área total dos novos buracos: 9 x 1/64 = 9/64

Área total  dos buracos: 1/4 + 3/16 + 9/64

                                Área total do triângulo de Sierpinski: 1 - 1/4 - 3/16 - 9/64

Portanto a área dos buracos é assim dada por:

que é a soma dos termos de uma progressão geométrica em que o primeiro termo é 1/4 e a razão é 3/4. Calculando o limite da soma dos n primeiros termos, obtém-se:

A área dos buracos tende de facto para 1 .

Tendo em conta que : Área do triângulo  de Sierpinsky = 1 - Área dos buracos, conclui-se que a área do triângulo  de Sierpinsky tende para zero.       

2. Exprima, em função da iteração ( n ), a área A_n do menor triângulo colorido da iteração n da construção do triângulo de Sierpinsky.

Facilmente se observa que a área do menor triângulo colorido é igual à área do menor buraco da iteração n, portanto, pelo que vimos na alínea anterior, a área do menor triângulo colorido da iteração n é (1/4)ⁿ

3. Para que valor tende a área dos triângulos invertidos no triângulo de Sierpinsky?

Ora se a área do triângulos de Sierpinsky tende para zero, como vimos na alínea 1., e visto que a área do triângulo de Sierpinsky não é mais do que a área do triângulo inicial subtraída da área dos triângulos invertidos, então, a área dos triângulos invertidos tende para a área do triângulo original.

4. Mostre que, apesar da área do triângulo de Sierpinsky tender para 0, o perímetro total dos triângulos tende para .

Suponhamos que o primeiro triângulo tem perímetro igual a 1.

Estudo do Perímetro:

• 1^a Iteração - 1 unidade

• 2^a Iteração - 1,5 unidades

• 3^a Iteração - (1,5)² unidade

Visto que dado um triângulo, depois de uma iteração, obtemos uma aproximação do triângulo de Sierpinsky com perímetro igual a 1,5 vezes o perímetro do triângulo original, temos que na iteração n, o perímetro do triângulo de Sierpinsky fica:

• (1,5)^n-1

Portanto, o perímetro do triângulo de Sierpinsky tende para sempre que n tende para .