Número de ouro, razão de ouro ou divina proporção

Se inscrevermos um pentágono estrelado num pentágono regular, o número de ouro que aparece naturalmente. Também aparece ao considerar um doctaedro e um icosaedro; Euclides construiu esse número usando a divisão de um segmento de recta em "média e extrema razão", na sua terminologia.

Cada uma das razões AQ/QD, AP/PQ e AD/BC é igual a 1/2 (1+), que é cerca de 1,618.Este número designa-se usualmente com a letra grega f . Esta razão satisfaz a esta propriedade: f =f +1.

Um "rectângulo de ouro", cujos lados estão nessa razão, podem assim ser decomposto num quadrado e num rectângulo com um formato idêntico àquele. O processo pode repetir-se ad infinitum.

Pode desenhar-se uma espiral equiangular passando por dois dos vértices dos sucessivos quadrados. Uma sucessão de arcos de circunferência é uma boa aproximação da espiral. A verdadeira espiral não toca realmente os lados dos rectângulos.

Euclides mostrou como se podia construir um pentágono regular, sem o que seria impossível construir um dodecaedro regular, tal como se descreve no último livro dos Elementos.

Foram descritas muitas construções aproximadas, por Leonardo da Vinci , entre outros, para uso de arquitectos e artistas. A construção apresentada na figura é simples e perfeita.

Trace-se uma circunferência e dois diâmetros perpendiculares e divida-se um dos raios ao meio, no ponto X. Marque-se XY igual a XA e com centro em A e raio AY trace-se um arco cortando a circunferência em B e em E. Então A, B e E serão vértices de um pentágono regular.

Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.

É o mais célebre de todos os teoremas de geometria e o único a figurar em piadas populares, em que a conclusão de arromba é, por exemplo, num jogo de palavras em inglês " the squaw on the hippopotamus is equal to the sum of the squaws on the other two hides".

É a proposição 47 do livro I dos elementos de Euclides , mas a demonstração de Euclides não é de modo nenhum a mais simples ou a mais fácil de seguir. Ao teorema chamou-se noutros tempos o teorema da noiva, e a esta figura chamava-se às vezes a cadeira da noiva:

Euclides demonstrou que os triângulos ABD e FBC são idênticos. O mesmo sucedendo ao par KCB e ACE. Em seguida mostrou que o rectângulo com diagonal BL é igual em área ao quadrado BAGF e analogamente que o rectângulo com diagonal CL é igual em área ao quadrado CAHK.

A figura de Euclides tem outras particularidades que ele não precisou usar. Por exemplo, AE e BK são perpendiculares, como são CF e AD e –como demonstrou Herâo- AL, CF, e BK são concorrentes.

O teorema de Pitágoras apareceu na China em tempos muito remotos. A figura seguinte é do Chou Pei Suan Ching ( O Clássico de Aritmética do Gnómon e das Trajectórias Circulares do Céu), datado de 500-200 a.C.

Existem muito mais demonstrações do teorema de Pitágoras do que de qualquer outra proposição matemática. Em 1940 Elisha Scott Loomis publicou o livro The Pythagorean Proposion, um trabalho de amor contendo 367 demonstrações, incluindo a demonstração de James Garfield, vigésimo Presidente dos Estados Unidos, bem como de muitas demonstrações enviadas por correspondentes, alguns deles jovens.

Esta demonstração é uma das mais simples. Na figura abaixo ABX+ACX=ABC, sendo os três triângulos semelhantes, tomando, respectivamente«, AB,AC e BC como bases. Mas as áreas destes triângulos estão na mesma proporção para as áreas dos quadrados com as mesmas bases, e daí o teorema.

Esta bela demonstração deve-se a Leonardo da Vinci. Junte-se uma cópia do triângulo original à parte de baixo. Na figura aparecem agora quatro quadriláteros idênticos. Para demonstrar que têm a mesma área imagine-se BA rodando em torno de B até BA se sobreponha a BX transformando-se então o quadrilátero BAUY no quadrilátero BXVC.

Um poliedro é regular se tiver como faces um mesmo tipo de polígono regular, e se todos os seus vértices forem congruentes. Só há cinco: cubo, o tetraedro regular, o octaedro regular, o dodecaedro regular e o icosaedro regular.

Os poliedros regulares chamam-se "platónicos" por tradição, embora no último livro dos Elementos de Euclides se diga, "Neste livro, o décimo terceiro, constroem-se as figuras chamadas platónicas, que no entanto não se devem a Platão. Três destas cinco figuras, o cubo, a pirâmide e o dodecaedro, pertencem aos pitagóricos, enquanto o octaedro e o icosaedro pertence a Teeteco.

Que o dodecaedro tenha sido descoberto antes não surpreende, já que os cristais férricos de pirite, ocorrem frequentemente em dodecaedros regulares, encontrando-se belos exemplos no sul da Itália. Também se encontram dodecaedros artificiais em Itália, datados antes de 500 a.C.

Todos os sólidos platónicos satisfazem a relação : Vértices + faces = arestas + 2.

 Pons asinorum

Num triângulo isósceles os ângulos da base são iguais e prolongando os lados iguais, os ângulos sob a base também são iguais. Eis a figura do próprio Euclides com as linhas auxiliares usadas na sua demonstração.

Esta é a quinta proposição do primeiro livro dos Elementos de Euclides. Supõe-se que tenha sido Tales o primeiro a prová-la. Papo fez a demonstração considerando o triângulo de cima e virando-o para baixo, método redescoberto há poucos anos por um programa de computador concebido par a demonstrar teoremas.

O termo latino significa "ponte dos tolos" ou dos "asnos", aludindo ao facto de os fracos não poderem ir além deste ponto nos seus estudos de matemática e referindo-se também, provavelmente, à semelhança com a armação conhecida nas construções por asna.

È um tipo de geometria não euclidiana em que a curvatura é constante e positiva.

As linhas rectas são circunferências máximas. Duas quaisquer dessas rectas cortam-se em dois pontos e não há de facto rectas paralelas. As distâncias entre dois pontos são os comprimentos medidos ao longo de um arco de circunferência máxima e o ângulo entre duas rectas é o ângulo entre as correspondentes circunferências máximas. Tal como em geometria hiperbólica um triângulo é maior do que dois ângulos rectos e a diferença entre a soma dos ângulos e p dá uma medida da área do triângulo (tal como na geometria hiperbólica). Na figura, se os ângulos do triângulo esférico central medirem , e a área do triângulo será R² (p /2 + 2p /5 + p /6 - p ) = p R²/15.

Ironicamente, resultados antigos de trigonometria esférica que já vêm dos gregos, transformaram-se em fórmulas correctas nesta geometria não euclidiana!

 Geometria hiperbólica

Euclides admitiu nos seus Elementos que:

Se uma linha recta incidindo sobre duas linhas rectas determina ângulos internos do mesmo lado menores que dois ângulos rectos, então as duas linhas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto no mesmo lado em que os dois ângulos são menores que dois ângulos rectos.

Este é o famoso Quinto postulado, que parecendo ser suficientemente complicado para constituir um teorema, não foi demonstrado por Euclides nem por nenhum dos seus sucessores.

Bolay e Lobachevskii, independentemente, consideraram a possibilidade de, em princípio não ser possível de demonstrá-lo e que faria sentido negá-lo. Ambos supuseram que havia duas rectas distintas WPX e ZPY, chamadas rectas-limites, passando por P e sem cortar AB, de tal forma que qualquer recta passando por P e no interior do ângulo XPY encontrasse AB.

Estas rectas foram por eles consideradas "paralelas" a AB, de modo que haveria infinitas rectas passando por P e paralelas a AB.

Félix Klein chamou "hiperbólica" a esta geometria, em 1871. Em geometria hiperbólica a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre menor do que dois ângulos rectos. Se o triângulo for pequeno, então os seus ângulos somam aproximadamente dois ângulos rectos.

Um triângulo é determinado pelos seus ângulos; em geometria hiperbólica não há lugar a falar de triângulos semelhantes, porque dois triângulos com os mesmos ângulos são necessariamente congruentes. A área de um triângulo é igual a K(p -() onde K é uma constante e ,  são as medidas dos ângulos do triângulo. À expressão p -(chama-se o defeito do triângulo. Os polígonos também têm o seu próprio defeito; dois polígonos podem dissecar-se um no outro se tiverem o mesmo defeito.

Um triângulo pode ter três ângulos nulos, sendo os seus lados rectas-limite de comprimento infinito, atingindo o defeito o seu máximo, ou seja dois ângulos rectos. A área do triângulo é contudo finita.

O perímetro de uma circunferência não é proporcional ao raio, crescendo mesmo muito mais rapidamente que o raio, de modo aproximadamente exponencial. Pra pequenos raios é aproximadamente proporcional.

No limite, quando certa constante da geometria hiperbólica tende para o infinito, o espaço hiperbólico torna-se "plano" e euclidiano. A geometria hiperbólica inclui a geometria euclidiana como um caso especial. Lobachevskii compreendeu isto e chamou à nova geometria "pangeometria".