O quinto postulado de Euclides foi, desde o início, objecto de polémica, principalmente por não possuir, aparentemente, o mesmo grau de "evidência" que os restantes postulados.

A geometria de Euclides sem o quinto postulado é chamada Geometria Absoluta.

Próclo (410-485), criticou o quinto postulado nos seguintes termos:

    Este postulado deve ser mesmo riscado da lista, pois é uma proposição com muitas dificuldades que    Ptolomeu, em certo livro, se propôs resolver... A asserção de que duas linhas rectas, por convergirem mais e mais à medida que forem sendo prolongadas, acabam por se encontrar, é plausível mas não necessária.       

Como ilustração do seu pensamento, Próclo (demonstração) dá o exemplo de um ramo de hipérbole que se aproxima mais e mais do eixo (assímptota) sem nunca o encontrar.

Próclo acrescenta:

      É claro, portanto, que devemos procurar uma demonstração do presente teorema, e que este é estranho ao          carácter especial dos postulados.

Bem se procurou demonstrá-lo, ao longo dos séculos. Todas as tentativas, por matemáticos de todas as grandezas e épocas, foram goradas.

A primeira tentativa, de que há conhecimento, é de Cláudio Ptolomeu de Alexandria. Outro exemplo de uma tentativa frustrada de contornar o V postulado de Euclides é feita por John Wallis (1616-1703), matemático britânico antecessor de Isaac Newton. De facto, Wallis não fez mais do que propor um novo enunciado do V postulado de Euclides. O que aconteceu com a tentativa de Wallis (demonstração) aconteceu com muitas outras proposições mais ou menos óbvias, evidentes ou plausíveis, que afinal de contas são equivalentes ao próprio V postulado. ( Proposições equivalentes ao V postulado de Euclides)

O padre jesuíta G. Saccheri (1667-1733) foi talvez o primeiro a ensaiar uma abordagem inteiramente nova. No seu último livro Euclides ab omni naevo vindicatus tentou utilizar a técnica de redução ao absurdo, admitindo a negação do postulado de paralelismo de Euclides com vista a obter algum absurdo ou contradição (demonstração).

Sem o saber Saccheri tinha descoberto a Geometria Não-Euclidiana ! O trabalho de Saccheri permaneceu ignorado durante século e meio. Outros grandes matemáticos, como Karl F. Gauss (1777-1855), " o príncipe dos matemáticos", redescobriram e desenvolveram a geometria em bases semelhantes às de Saccheri ( negando o V postulado), sem nunca chegarem a uma contradição.

Gauss chega a escrever:

   Estou cada vez mais convencido de que a necessidade da nossa geometria (Euclidiana) não pode ser demonstrada, pelo menos não pela razão humana, nem por culpa dela. Talvez, numa outra vida, consigamos obter a intuição sobre a natureza do espaço que, no presente, é inatingível.

Outros, mais ousados, não recuaram perante o estranho mundo novo que se abria a seus olhos. O jovem húngaro Janos Bolyai (1802-1860) admite a negação do postulado de paralelismo de Euclides como hipótese não absurda, isto é, como um novo postulado, a juntar aos postulados habituais da geometria absoluta. Pela mesma época, e trabalhando independentemente, o jovem russo Nicolai Lobachewski (1792-1856) publica em 1829 a sua versão da geometria não euclidiana à qual chama, primeiramente "imaginária" e depois "pangeometria". Actualmente, esta geometria é chamada Geometria Hiperbólica. (Considera-se como quinto postulado que " por um ponto exterior a uma recta passam uma infinidade de rectas paralelas à dada")

A mera publicação dos trabalhos de Bolyai e Lobachewski não garantiu a nenhum destes matemáticos o reconhecimento que mereciam. Pelo contrário, permanecerem praticamente ignorados durante mais de trinta anos. O que eles propunham era simplesmente inconcebível e contrario à teoria Kantiana do espaço que dominava a filosofia do conhecimento. Para Kant, o espaço intuitivamente na mente humana e os postulados Euclidianos são juízos a priori impostos à mente sem os quais não é possível qualquer raciocínio coerente sobre o espaço. Ora a geometria hiperbólica aparece como uma geometria para a qual não se enxerga nenhum "espaço" possível e, a existir um tal "espaço", ele não seria deste mundo e não seria, portanto, o objecto de conhecimento.

Em 1854, Bernard Riemann utilizou com quinto postulado "por um ponto exterior a uma recta não passa nenhuma recta paralela à dada" e criou assim a Geometria Esférica, que tem com modelo a terra.

Nos anos sessenta do século passado, com novos desenvolvimentos na aritmética e na física, o espaço físico tridimensional, motivação privilegiada das concepções euclidianas, perderia para sempre o privilegio do reinado absoluto nas interpretações físicas das teorias geométricas.

De facto, concluímos que o quinto postulado é o que destingue a Geometria não Euclidiana da Geometria Euclidiana.