Demonstração de Próclo

Sejam r, s paralelas e l cortando r em P, com vista a provar que l corta necessariamente s.

Seja Q o pé da perpendicular a s passando por P. No caso l = , l corta r em Q. No caso contrário, alguma semi-recta contida em l está entre a semi-recta e um semi-recta contida em r, onde X é o pé da perpendicular a r passando por Y.

Ora, continua Próclo – e este é o ponto crucial da sua argumentação – quando o ponto Y se afasta mais e mais de P ao longo de l, o segmento aumenta sem cessar, até que acaba por se tornar maior do que , de modo que Y terá de acabar por atravessar s para o outro lado e, assim, l corta s. Q.E.D.

Neste sofisticado argumento envolvendo movimento e continuidade, cada passo, individualmente considerado, é correcto, todavia a conclusão de que l corta s não é legítima, por muito chocante que isto possa parecer! É verdade, e pode ser justificado rigorosamente na geometria absoluta, que cresce ilimitadamente (o que quer dizer: torna-se maior do que qualquer segmento dado). Parece razoável pensar que, sendo Z o pé da perpendicular a s passando por Y, se tem

1. X, Y e Z colineares, e
2. º

.

Assim, tornando-se maior do que , também se tornará maior do que , o que só é possível com Y do outro lado de s. Por muito que custe à intuição, o problema é que tanto (1) como (2) são impossíveis de justificar na geometria absoluta! Parecem razoáveis face à figura acima, mas devemos precaver-nos de utilizar um diagrama ou figura para justificar um passo de uma demonstração - todos os passos têm de ser justificados a partir dos postulados ou axiomas e dos teoremas já demonstrados. Os passos (1) e (2) podem ser justificados, sim, mas na geometria euclidiana, utilizando o postulado de paralelismo de Euclides.

Em conclusão, o argumento de Próclo, tal como o de Ptolemeu, é circular. Daí o cuidado que devemos ter ao lidar com a noção de paralelismo. As imagens ou visões que possuímos sobre duas rectas paralelas apenas podem ser justificadas na geometria euclidiana.