Postulado de Wallis

Dados um triângulo ABC e um segmento , existe um triângulo DEF semelhante ao triângulo dado.

Dois triângulos dizem-se semelhantes se e só se for possível estabelecer uma bijecção entre os respectivos vértices de tal modo que os ângulos homólogos são congruentes. Prova-se na geometria euclidiana, que em triângulos semelhantes, lados homólogos são proporcionais. Em termos informais, o postulado de Wallis afirma que qualquer triângulo pode ser "ampliado" ou "reduzido" sem distorção, tanto quanto se queira. Vejamos como Wallis tentou demonstrar o quinto postulado de Euclides na sua versão da geometria euclidiana.

Sejam dados uma recta s e um ponto P não em s. Seja Q o pé da perpendicular a s passando por P, e façamos passar por P uma recta r perpendicular . Seja ainda l uma recta passando por P distinta de r. É forçoso mostrar que l corta s. Vamos considerar uma semi-recta com origem em P entre uma semi-recta contida em r e , digamos ; por R tiramos perpendicular a.

Aplicando o postulado de Wallis ao triângulo PSR e segmento , existe um ponto T tal que o triângulo PSR é semelhante ao triângulo PQT. Podemos supor que T está do mesmo lado de que R (caso contrário, uma simples construção de triângulos congruentes resolve a questão).

Então o Ð TPQ º Ð RPS mas, como estes ângulos têm um lado comum = e T está do mesmo lado da recta que R, a única maneira de os dois ângulos serem congruentes é serem iguais. Assim, = , de modo que T está em l.

Analogamente, o Ð PQT º Ð PSR, que é recto, logo T está em s e, portanto, l corta s, precisamente no ponto T. Q.E.D.

Tudo isto está certo, mas escapou a Wallis o facto seguinte: é que o quinto postulado de Euclides implica, por sua vez, o postulado de Wallis, de modo que os dois postulados são, afinal, equivalentes.