Abordagem Histórica         monumhist.gif (1685 bytes)

Conceito de Número Natural e Fracções

No vale da Mesopotâmia de 2000 a.C. a 600 a..C.,no tempo dos Babilónios,  ocorreram desenvolvimentos culturais espantosos, incluindo a escrita, o uso da roda e trabalhos em metal. O conceito de número deve ter surgido através da contagem: posses, campos, dias, inimigos. A medição de comprimentos e pesos conduziu às fracções.

A abundância de barro e a técnica de escrita cuneiforme usada pelos Babilónios permitiu-lhes a criação de muitas tabelas de números. Algumas dessas placas de barro permaneceram até aos nossos dias, encontrando-se algumas delas ainda por decifrar em caves de museus.

BABYLONIAN_TABLET.JPG (20783 bytes)

Uma das placas notáveis já decifrada tem o nome de "Plimpton 322", datada de 1900 a. C. e contém alguns conjuntos de números, - que cerca de mil anos mais tarde foram baptizados com o nome de um famoso matemático grego, Pitágoras - denominados triplos pitagóricos, cuja característica é o primeiro número ser um quadrado igual à soma de outros dois númros quadrados. Os números 25, 16, 9  formam um triplo pitagórico (porque 25 = 16+9). Não existe consenso sobre a razão pela qual os Babilónios se interessavam por este tipo de números.

 

 

No entanto, há teorias que justificam que esse interesse se limitava aos efeitos práticos – um lavrador que possuía um campo de 25 unidades quadradas de terra poderia trocá-lo por dois campos quadrados, um medindo 16 unidades quadradas e o outro 9 unidades quadradas – enquanto que outras salientam que o interesse inerente aos números em si pode ter também sido motivação para o interesse dos Babilónios nos números quadrados. Os números inteiros são fáceis de visualizar e manipular: é necessário uma boa reserva de pedrinhas para usarmos nas contagens. A medição de comprimentos e pesos conduziu às fracções e aos números reais.

As fracções são também fáceis de abordar: para obter o número considera-se um objecto, por exemplo um saco de areia, dividimo-lo em três partes iguais e escolhemos duas delas. Há uma infinidade de fracções, que permitem uma divisão infinitamente fina da série dos números. Para fins como o comércio, a medição de terras e a astronomia, os racionais eram mais do que suficientes.

 

Surgem os irracionais

No tempo dos pitagóricos, o sistema numérico tinha-se desenvolvido até àquilo que hoje chamamos a fase dos números racionais: números inteiros e suas razões, números estes também conhecidos na Babilónia e no Egipto antigos.

Mas os pitagóricos fizeram uma descoberta espantosa quando investigaram o suporte lógico da geometria conhecida. Em geometria os números surgem naturalmente como comprimentos de segmentos de recta.

Os Gregos sabiam que as operações aritméticas podiam fazer-se através de construções geométricas. Por exemplo, dois números podiam ser adicionados colocando-se os comprimentos correspondentes um a seguir ao outro. Parecia óbvio que a cada comprimento correspondia um número (número racional) e a cada número (racional) um comprimento. Visto que os racionais se encontravam tão finamente espaçados não podia haver de forma alguma espaços – segmentos que não têm um comprimento racional. No entanto, os pitagóricos conseguiram provar que certos segmentos de construção simples têm comprimentos que não correspondem a nenhum número racional. Chamaram-lhe irracionais. Por exemplo a diagonal de um quadrado unitário é um segmento nessas condições. Consta que terão jurado guardar segredo desta descoberta, segredo esse que não se manteve. A descoberta dos irracionais foi muito perturbadora e provocou a primeira crise   nos fundamentos da Matemática.

Dessa descoberta não se seguiu, como parecia natural, o estender o conceito de número, alargando-o ao caso de se tratar da razão de segmentos incomensuráveis.

Continuaram a considerar-se como números apenas os racionais, desenvolvendo-se paralelamente uma teoria geométrica das grandezas que se encontra no seu maior graus de aperfeiçoamento nos Elementos de Euclides. As razões desta dualidade, que originou a separação da aritmética e da geometria em compartimentos estanques, são essencialmente de ordem filosófica.

O problema da filosofia dos pitagóricos   estava no facto de considerarem um ponto como "unidade dotada de posição" o que levava a que um segmento teria um número inteiro de pontos ou um número fraccionários de pontos, no caso de se tomar como unidade um determinado segmento. Então como era possível existir um segmento cujo comprimento não podia ser representado por um número?

O finitismo que impregna toda a ciência grega, posteriormente às críticas da Escola de Elea, conduziu ao corte entre aritmética e geometria, e, só mais tarde se reconheceu que apenas com recurso a processos infinitos se podem lançar as bases duma teoria de números irracionais.

As necessidades de ordem analítica levaram, por outro lado, ao estudo das operações, como extracção de raízes quadradas, cúbicas, etc., que nem sempre conduziam a resultados exactos; aos matemáticos hindus e árabes se deve o estabelecimento de algumas regras formais para o cálculo de radicais.

 

O papel da Geometria Analítica

 

Fermat.jpg (6634 bytes)

FERMAT

 

A criação da Geometria Analítica com Fermat e Descartes, no século XVII, exigiu uma mudança de atitude no que respeita às relações mútuas dos campos aritmético e geométrico e preparou assim o caminho para o tratamento aritmético das incomensurabilidades. Newton dá já uma definição de número, a partir da razão de grandezas, que compreende tanto os números racionais como os irracionais. Só no séc. XIX, porém, com Weierstrass, Méray, Dedekind, e Cantor, apareceram teorias dos números irracionais satisfatórias do ponto de vista do rigor científico.

Passaram-se assim mais de dois mil anos até à formalização da teoria geral sobre os números reais, que incluem os irracionais.

Embora o conjunto dos números racionais seja infinito e denso (isto é, entre cada dois racionais há sempre uma infinidade deles), não chega para encher a recta.

Queremos observar que nem todos os números irracionais correspondem a raízes, de qualquer índice, não possíveis no campo racional ou a combinações algébricas dessas raízes. Existem números irracionais de categorias diferentes.

O mérito das teorias modernas, entre elas a de Dedekind, está em permitir a construção duma teoria geral dos números irracionais

Em 1872, o matemático alemão Dedekind escreve uma obra intitulada Continuidade e Números Irracionais, na qual menciona:

A linha recta é infinitamente mais rica em pontos que o domínio dos números racionais o é em números ...

Torna-se absolutamente necessário aperfeiçoar este instrumento pela criação de novos números, se pretendermos que o domínio dos números seja tão completo ou, como podemos agora dizer, tenha a mesma continuidade que a linha recta....

 

Se desejar mais informações sobre os matemáticos, seguir os links indicados:

 

WEIERSTRASS.JPG (1349 bytes)

Weierstrass

 

 

 

Méray

Cantor.jpg (1286 bytes)

Cantor

Dedekind.jpg (8317 bytes)

Dedekind

Fermat.jpg (6634 bytes)

Fermat

Euclid.jpg (2231 bytes)

Euclides

DESCARTES.JPG (1611 bytes)

Descartes

 

 

http://www.educ.fc.ul.pt/~icm11 (História da Matemática)

 

wpe14.jpg (5722 bytes)