ACTIVIDADES E CURIOSIDADES SOBRE A FUNÇÃO EXPONENCIAL

1. Quando observa os cabos eléctricos suspensos dos postes de uma ponte repare que desenham uma curva que parece um arco de parábola, porém não é o gráfico de uma função polinomial. O seu nome é catenária, do latim cadena, cadeia.

Trata-se do gráfico de uma função  exponencial, transcendente (não –algébrica), de equação

Y = (1/2a) ( e + e ) em que a é constante positiva.

1.1 Estude as principais características da função

1.2 Dois postes de altura igual e afastados de 50m suportam um cabo o qual desenha uma catenária em que a = 0,08.

1.2.a) Qual a distância mínima do cabo ao solo?

1.2.b) Qual é a altura dos postes?

Curiosidades históricas sobre a catenária

 

Até ao séc. XVII suponha-se que era um arco de parábola; até mesmo Galileu o pensava.

Mas em 1647 um jovem com 17 anos, Christiaan Huygens, provou com argumentos físicos que essa hipótese era falsa, sem, contudo descobrir a expressão analítica da curva.

Huygens foi um matemático e físico holandês (1629-1695), construtor do primeiro relógio de pêndulo.

Huygens retomou mais tarde o estudo da catenária e publicou, já com mais de 60 anos, a solução do problema.

Simultaneamente surgiram trabalhos independentes, sobre a catenária, dos irmãos Bernoulli (Basileia) e de Leibniz (Hanover).

 

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2. A função exponencial surge no estudo do crescimento de algumas populações de seres vivos.

Fugiram 8 coelhos dum barco atracado em Kori, uma pequena ilha onde não havia coelhos nem predadores; tendo bom clima e muito alimento reproduziram-se exponencialmente e, passados uns tempos, davam um tal prejuízo à agricultura que o governador mandou fazer a contagem de quantos coelhos havia para estudar as medidas a adoptar. Contarem 4500 coelhos; três meses depois, nova contagem deu 9900 coelhos.

2.a) Acreditando nas contagens, propõe uma fórmula que traduza o crescimento desta população de coelhos.

2.b) Quanto tempo passou desde a fuga dos coelhos até à realização da 1ª contagem?

2.c) Se não forem tomadas medidas, quantos coelhos haverá um ano depois da 2ª contagem?

3. A função exponencial também modela fenómenos como a desintegração radioactiva:

Uma porçãode substância radioactiva desintegra-se espontaneamente, segundo uma lei de decrescimento exponencial dada pela expressão

m = m₀ e

onde m₀ é a massa inicial (a massa no instante t = 0), k é uma constante positiva de proporcionalidade que depende da substância radioactiva em causa, t é o tempo expresso em anos e e é o Número de Neper.

Um conceito importante no estudo da desintegração radioactiva é o de "vida-média" de uma substância, que se define como sendo o tempo necessário para que a sua massa inicial se reduza a metade e se represente por T.

Através de cálculos adequados, chega-se à fórmula:

½ = e

que, mediante a substituição da constante K pelo valor que ela tem para cada substância, permite determinar a vida média T dessa substância radioactiva.

Podemos assim ficar a saber que a vida média do rádio (elemento químico radioactivo descoberto em 1899), pelo célebre casal Curie) é de 1590 anos.

Se deseja mais informações sobre a catenária consulte:

http://www.treasure-troves.com/math/Catenary.html

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Curves/Catenary.html