Alguns são mais irracionais que outros...

Existem irracionais de diferentes categorias. Podemos considerar as seguintes categorias:

Números Algébricos

São aqueles que se podem definir como raízes duma equação algébrica de coeficientes inteiros. Pertencem a esta classe:

1. os números racionais, visto que x = p/q é raiz da equação qx – p = 0;
2. os números que são combinações finitas de operações racionais e radiciações sobre números inteiros, tais como , , , f , etc.
3. os números irracionais que, por serem raízes de equações gerais de grau superior a 4 e de coeficientes inteiros, não pertencem à categoria a) ou b).

Números Transcendentes

Não podem ser raízes de polinómios de coeficientes racionais

Os números e e Pi são transcendentes.

Até 1844 ninguém sabia se existiam números transcendentes. Nesse ano, Liouville demonstrou um teorema que tem como consequência que irracionais algébricos não podem ser bem aproximados por racionais.

É então tarefa fácil encontrar um irracional com aproximações racionais invulgarmente boas, o qual portanto tem de ser transcendente. Um exemplo é

1, 1010010001000000001

em que o número de zeros entre uns consecutivos duplica em dada etapa.

Em 1873 Charles Hermite provou que e é transcendente. Ele escreveu: "Não me atrevo a tentar mostrar que p é transcendente. Se outros o fizerem, ninguém ficará mais feliz que eu com o seu sucesso, mas acredite-me, caro amigo, isso não vai deixar de lhes custar algum esforço".

Ferdinand Lindemann foi bem sucedido em 1882 usando um método semelhante ao de Hermite e fazendo uso da fórmula de Euler

Se desejar mais informação consulte

http://www.treasure-troves.com/bios/Hermite.html

http://www.treasure-troves.com/bios/Liouville.html

http://www.treasure-troves.com/bios/Lindemann.html

http://www.treasure-troves.com/math/TranscendentalNumber

http://www.cut-the-Knot.com/do-you-Know/numbers.html#Stewart