CRISE NA MATEMÁTICA

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A descoberta dos irracionais  foi muito perturbadora e provocou a primeira crise nos fundamentos da Matemática.

Parecia haver três escolhas: negar que a diagonal de um quadrado existe (o que deixava a geometria de rastos); aceitar que segmentos não podem ter comprimento (idem); ou aceitar que comprimentos podem não corresponder a números (o que arruína a aritmética).

A solução grega foi deitar fora a aritmética e tomar os segmentos como sinónimos dos seus comprimentos. Assim, as áreas tornar-se-iam sinónimo dos quadrados correspondentes, e assim por diante. Uma razão passou então a ser uma espécie de relação entre pares de segmentos. A principal justificação para este truque funcionar é que todos os teoremas básicos eram sobre razões. Assim não seria necessário saber o que era uma razão, mas sim quando duas delas são iguais e, se não o forem, qual delas é maior. A resposta grega para esta questão, fornecida por Eudoxo, está no princípio do Livro Cinco dos Elementos. Uma versão moderna poderia ser a seguinte: "Para distinguir dois irracionais temos de encontrar um racional entre eles". É claro que a definição original vale para razões em vez de números. Uma perspectiva moderna sugere imediatamente a ideia de tratar os irracionais em termos de aproximação de racionais.

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