A QUESTÃO DA INCOMENSURABILIDADE

A descoberta de razões incomensuráveis é atribuída a Hipaso de Metaponto. Julga-se que os pitagóricos estariam no mar na altura e que atiraram Hípaso à água por ter produzido um elemento no universo que negava a doutrina pitagórica de que todos os fenómenos no universo podem ser reduzidos a números inteiros ou suas razões.

Morris Kline

Os diálogos de Platão mostram que a comunidade matemática grega tinha sido confrontada com uma descoberta matemática de significação devastadora para a filosofia pitagórica e que praticamente demolia a base da fé nos inteiros. Tratava-se da descoberta que na geometria os inteiros e suas razões não eram suficientes para descrever simples propriedades básicas. Essas propriedades não bastam, por exemplo, para comparar a diagonal de um quadrado ou de um cubo ou de um pentágono com o seu lado. Os segmentos do lado e da diagonal são incomensuráveis, não importa quão pequena se tome a unidade de medida, isto é o lado do e a diagonal não tinham uma medida comum. Esta descoberta forçou os pitagóricos a abandonar a sua filosofia básica de que todas as coisas eram números e permitiu que os Gregos matemáticos desenvolvessem novas teorias.

Não se têm certezas da data certa ou de como exactamente essa descoberta foi feita. Existem argumentos sem base a favor de uma origem hindu desta descoberta e também parece improvável que o próprio Pitágoras conhecesse o problema da incomensurabilidade. Uma sugestão plausível é que a descoberta fosse feita por pitagóricos em algum momento antes de 410 a.C. Alguns atribuem-na especificamente a Hipasus de Metapontum durante a primeira parte do último quarto do quinto século a.C., enquanto que outros a colocam meio século mais tarde.

Também são incertas as circunstâncias que rodearam a primeira percepção da incomensurabilidade. Supõe-se que a percepção veio em conexão com a aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo isósceles.

A única referência à descoberta desta questão está no trabalho de Aristóteles que refere uma prova da incomensurabilidade da diagonal de um quadrado com o seu lado, indicando que se baseava na distinção entre pares e ímpares.

Nesta prova o grau de abstracção é tão alto que a possibilidade de ter sido a base da descoberta original da incomensurabilidade tem sido posta em causa. Outros modos pelos quais a  descoberta pode ter sido feita envolve a observação das diagonais de um pentágono. Quando se traçam as cinco diagonais de um pentágono elas formam um pentágono regular menor. E as diagonais do segundo pentágono por sua vez formam um terceiro pentágono regular que é ainda menor. Esse processo pode continuar indefinidamente, resultando em pentágonos tão pequenos quanto se queira e levando à conclusão de que a razão da diagonal para o lado num pentágono regular não é racional. Não existem documentos que provem ou não se foi esta propriedade que levou à revelação, talvez por Hipasus, da incomensurabilidade, mas a sugestão tem interesse.

Nesse caso não seria a Ö2 mas a Ö5 que primeiro revelou a existência de grandezas incomensuráveis pois a solução da equação a:x = x(a-x) leva a (Ö5-1)/2 como sendo a razão entre o lado de um pentágono regular e a diagonal.

Uma prova geométrica análoga à que serve para a razão da diagonal do pentágono para o seu lado pode também ser fornecida para a razão da diagonal de um quadrado para seu lado.