A nova definição de Número Real

Bento de Jesus Caraça referindo-se ao axioma da continuidade de Dedekind-Cantor deu uma nova definição de número real:

Chamo número real ao elemento de separação das duas classes dum corte qualquer no conjunto dos números racionais; se existe um número racional a separar as duas classes, o número real coincidirá com esse número raciona; se não existe tal número, o número real dir-se-á irracional.

No seu livro Conceitos Fundamentais de Matemática, Bento de Jesus Caraça escreveu:

"Sempre que numa recta se tem uma repartição dos seus pontos em duas classes (A) e (B) satisfazendo às duas condições:

diz-se que se tem um corte, do qual (A) e (B) são as classes constitutivas.

Para definir um número racional, bastam dois números naturais – o seu numerador e o seu denominador, enquanto que para definir um número real são necessárias duas infinidades de números racionais, visto que os elementos constitutivos da definição são as duas classes (A) e (B) do corte e estas classes têm, cada uma delas, uma infinidade de números. Por exemplo, enquanto que na definição do número racional 7/5 entraram apenas os números 7 e 5, combinados pela operação da divisão, o número real irracional Ö 2 é definido como o número que separa a classe dos números racionais r tais que r< 2 da classe dos números racionais s tais que s> 2, isto é, como o número que é maior que toda a infinidade dos r e menor que toda a infinidade dos s.

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É claro que pela definição dada acima, os números racionais são números reais e, portanto, têm também uma definição em que figuram duas infinidades de números (por exemplo, 1 é o número real que separa a classe dos números racionais m/n em que m < n da classe dos números racionas m/n em que m > n).

Mas como os números racionais podem ser definidos apenas com dois números inteiros, não é preciso recorrer ao infinito quando eles têm que ser estudados em si. Esse recurso só se impõe quando eles são estudados como elementos duma categoria mais geral, a dos números reais.

Este facto – necessidade de recorrer ao conceito de infinito – explica que, sendo o fenómeno da incomensurabilidade conhecido há mais de 25 séculos, só há muito pouco tempo, com a obra de Dedekind, exista uma teoria satisfatória dos números irracionais. Os problemas de carácter científico e filosófico que se prendem com esta questão são muitos e duma importância extrema.

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