Atribui-se a John Napier (link) a descoberta do número de Neper. É um número irracional e surge como limite, para valores muito grandes de n, da sucessão

® e

Representa-se por e sendo e = 2,7182818284590452353602874...

É um número irracional e transcendente e estreitamente aparentado com o número pi.

A fórmula de Euler relaciona de forma elegante estes dois números irracionais tão famosos.

Fórmula de Euler: e^ix = cos x + i sen x   e para x = p, temos e ^ip = -1

O símbolo e foi usado por Euler   em 1739. No século XVII Leibniz representava-o por b.

A designação deste número e por Euler conserva-se como homenagem a este matemático.

O número pi apareceu no cálculo da área e do perímetro do círculo. O número e aparece na resolução de equações em que as incógnitas aparecem em expoente.

Este número e é importante em quase todas as áreas do conhecimento: economia, engenharia, biologia, sociologia.

A função exponencial x® e^x, cuja base é o número de Neper modela fenómenos de importância vital, nos mais variados campos da ciência: físico-químicas, biológias, económicas, agronómicas, geográficas, médicas, sociais.

O número e é um número irracional mas de uma categoria diferente de Ö2. EnquantoÖ2 pode ser raiz de um polinómio, o número e não pode ser raiz de polinómios de coeficientes inteiros: diz-se um irracional transcendente.

Pelas suas propriedades particulares, o número e tem sido usado como base de logaritmos privilegiada em Matemática Superior, embora a base 10 seja a mais usada em aplicações práticas. A base de logaritmos inventada por Neper, que era muito complicada, fazia intervir o número e, pelo que este continua a chamar-se "número de Neper" e os logaritmos de base e logaritmos "neperianos" ou "naturais".

Uma caracterização geométrica do e pode ser a seguinte: e é a única raiz positiva da equação

O e é o único número positivo superior a 1 cuja região indicada corresponde a uma unidade de área.

Demonstração:

O teorema decompõe-se em dois:

Provemos que a sucessão

Qualquer que seja n inteiro e positivo u_n é uma potência de base positiva, portanto, também positiva.

Vamos demonstrar que é crescente, desenvolvendo o termo geral segundo a fórmula do binómio de Newton:

 

ou ainda,

(igualdade 1)

Daqui resulta que

por se ter suprimido uma parcela positiva, a última, e se ter aumentado todos os subtractivos.

Note-se que o último membro da desigualdade é precisamente u_n-1 . Conclui-se pois que u_n-1 < u_n para n inteiro e positivo qualquer. Logo a sucessão é crescente.

Demonstremos agora que a sucessão de termo geral u_n é limitada superiormente.

Da igualdade 1), resulta, notando que todos os parêntesis do segundo membro são todos menores que a unidade,

e, por ser p! > 2 ^p-1 para p ³ 3, inteiro e positivo, vem da igualdade 2, por maioria de razão

ou notando que as parcelas a partir da segunda constituem uma progressão geométrica de razão ½ cuja soma é, portanto, [1-(1/2 ⁿ )] / [1 – (1/2)],

que prova ser 3 maior que qualquer termo da sucessão e, portanto, esta é limitada superiormente.

Então a sucessão de termo geral

sendo crescente e limitada superiormente tem limite finito.

Da igualdade 2) resulta que u_n < 3

Da igualdade 1) decorre com n ³ 2, por supressão de termos positivos do segundo membro da igualdade,

Portanto

Tem-se então que

Dem:

Por definição

Já vimos que

Consideremos a igualdade1) do Teorema anterior à qual se pode dar a forma seguinte, com n > m, m inteiro e positivo,

Daqui, com n suficientemente grande e por serem positivos todos os termos do segundo membro, vem

 

Tomando limites de ambos os membros desta desigualdade quando n tende para infinito, obtém-se

Em resumo, tem-se por um lado

,

Ou, tomando os limites,

e, sendo por definição

,

tem-se finalmente

 

c.q.d.

 

 

http://www.educ.fc.ul.pt/~icm18 (A Função Exponencial)