O que é o número p (pi) ?

 

O número pi (representado habitualmente pela letra grega p ) é o irracional mais famoso da história, com o qual se representa a razão constante entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâmetro .

Se pensarmos que ao dar a volta à Lua seguindo um dos seus círculos máximos, percorremos aproximadamente 10920 Km e se dividirmos este valor pelo diâmetro da Lua que é 3476 Km iremos verificar que esta razão é de 3,14154200…, este número é-nos familiar, é aproximadamente 3,14.

Na realidade, como número irracional, pi é expresso por uma dizima infinita não periódica, que nos dias de hoje com a ajuda dos computadores já é possivel determinar com centenas de milhões de casa decimais.

Aqui aparecem as primeiras cinquenta :

 

p = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 3751

 


 

A história do p

Antes de Cristo

A existência de uma relação constante entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro era conhecida por muitas das civilizações antigas. Tanto os Babilónios como os Egípcios sabiam que esta razão era maior que 3. Nas placas de argila dos Babilónios verifica-se que estes adoptavam uma aproximação grosseira para o valor de p, pois consideravam que a razão do círculo era dada por 3 ou

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Por seu lado os Egípcios deram um valor diferente, mais exacto, obtido através da comparação da área de um disco circular com o quadrado do seu diâmetro. Nos papiros Egípcios escritos antes de 1700 a. C., a área de um círculo é igual à de um quadrado com 8/9 de diâmetro. Mas por exemplo o papiro de Ahmes, (cerca de 1600 a. C.) dá à relação existente entre a circunferência e o seu diâmetro, o valor 3,16, na nossa notação; o papiro de Moscou contém uma fórmula para se calcular a área da esfera, em que é atribuido a p o valor de 3,14. Isto evidência que a medição Egípcia da circunferência tinha erro menor do que um por cento.

Se tomarmos o diâmetro como 2, a área é p e a regra Egípcia é dada por:

O velho testamento descreve uma bacia circular ou a "fusão do mar" feita por Hiram de Tiro. A bacia é descrita como sendo um "lago de dez cúbitos, de margem a margem, circular, cinco cúbitos de fundo, e trinta em redor" o que fazia p  igual a 3. Contudo, neste ponto da história já se sabia que o p era maior do que 3, e não há razão para acreditar que o texto bíblico tinha a intenção de ser algo mais do que uma descrição casual.

Tanto Hebreus como Babilónios se satisfizeram ao atribuir a p o valor de 3. Na época em que , em Tennesse, se realizava o célebre julgamento da ideia evolucionista , um dos estados agricolas da União Americana introduziu na legislação uma lei especial, destinada a restaurar o valor bíblico de p . Lei que acabou por não ser aceite, pois teria "como conseqência lógica, a extinção dos tractores e dos automóveis Ford."

Embora muitas civilizações antigas tenham observado através de medições que a razão do circulo é a mesma para circulos de diferentes tamanhos, os Gregos foram os primeiros que explicaram porquê. É uma simples propriedade das figuras semelhantes. Os antigos Gregos foram provavelmente os primeiros a compreender que p e Ö2, são números muito diferente dos números inteiros ou dos números racionais (razão de inteiros) que eles usavam nas suas matemáticas. Contudo, embora os Gregos tenham conseguido provar que Ö2 é irracional, o mesmo não aconteceu com o p .

Arquimedes (287/212 a.C.) conseguiu melhorar um pouco a aproximação dada ao número p . Aproximando a circunferência por polígonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados, descobre que o valor de p  se encontra encontra limitado pelos seguintes valores:

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ou seja, 3,14085 < p < 3,142857, obtendo uma aproximação com duas casas decimais correctas.

 

Depois de Cristo

No ano 400 d.C. o livro indiano "Paulisha Siddhânta" usa o valor 3177/1250 para p, anos mais tarde, Tsu Chung-Chi (430/501 d.C.) descobre que o valor de p se encontra entre 3,1415926 e 3,1415927:

3,1415926 < p < 3,1415927.

Por volta de 499 d.C., aparece, num tratado indiano sobre matemática e astronomia intitulado " ãryabhata", dados para a obtenção de p : "Adicione-se 4 a 100, multiplique-se o resultado por 8 e adicione-se 62.000. O resultado é aproximadamente o comprimento da circunferência de diâmetro 20.000." Donde sai o valor aproximado 3,1416 para p, que é uma boa aproximação com 3 casas decimais correctas.

Mais tarde os investigadores obtiveram melhores aproximações para p usando polígonos com mais lados do que aqueles que foram usados por Arquimedes. Um impressionante cálculo Chinês com um polígono com mais de 3.000 lados deu cinco décimas ao p. Os Chineses também encontraram uma fracção simples 355/113 o que difere do p por menos de 0.0000003. A aproximação racional 355/113 foi redescoberta no século XVI pelo engenheiro alemão Adriaan Anthoniszoon. No mesmo século, outro alemão, Adriaen van Rooman, usou o método de Arquimedes com 230 lados para obter 15 casas decimais para p . Alguns anos mais tarde Ludolph Van Ceulen (1539/1610), professor de matemática e ciências militares na Universidade de Leyden, obteve o valor de p  com 20 casas decimais, depois com 32 e mais tarde, em 1615, estendeu este resultado a 35 casas decimais. Os Alemães ficaram tão estupefactos com este cálculo que durante anos chamaram ao p o número Ludolfino. Consta que essa sua aproximação de p teria sido gravada na pedra tumular do autor, pedra essa que se perdeu. Mais interessante ainda é o facto de, ainda hoje na Alemanha, p  ser frequentemente designado como número ludolfino.

Viéte em 1593, obteve, pelo Método de Arquimedes, através do limite da sucessão de polígonos inscritos no círculo, o valor 3,1415926535. De sua autoria, temos a seguinte forma a partir da qual p pode ser definido: 

Embora seja conhecido que p  não é um número racional (isto é p  não é a razão de inteiros), há muitas fórmulas surpreendentes que relacionam p com os inteiros.

Em 1656, John Wallis (1616/1703), professor de Geometria da Universidade de Oxford, provou que    p/2 é igual ao produto infinito de números racionais. O numerador destas fracções contém inteiros pares cada um repetindo-se duas vezes, e o denominador contém inteiros ímpares, cada um repetindo-se duas vezes (com excepção do 1). O resultado obtido por Wallis pode escrever-se da seguinte forma:

Wallis provou que o valor do limite dos produtos tende para p/2 , tal que:

Esta é a primeira fórmula para expressar p como o limite de sequência de números racionais.

Uma fórmula mais simples, descoberta por James Gregory (1646/1716) em 1671, expressa p/4 como uma série infinita. Ele provou que o limite desta série é p/4 :

O mesmo resultado foi descoberto independentemente, por Leibniz (1646/1716) em 1674, e a série é normalmente chamada de série Gregory-Leibniz. Ele propõe o cálculo de p pelos limites de séries.

Isaac Newton, por volta do ano 1666, através da série:

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obtém o valor de p com 16 casas decimais.

Embora as pessoas se tenham interessado durante séculos pela razão do círculo, o uso da letra grega p como um símbolo que designa esta razão é relativamente recente. O inglês William Jones (1675/1749) é geralmente reconhecido como o primeiro a usar o símbolo p para esta razão. O símbolo apareceu no seu livro Synopsis Palmariarum Malheseos, publicado em 1706, o qual incluía 100 casas decimais para p calculado por John Machin (1680/1752). A fórmula da autoria de Machin é dada por:

Em 1720, o japonês Matsunage achou o valor de p com 50 casas decimais.

A letra c (para circunferência) e p (para perímetro) foram muitas vezes usadas para a razão do círculo, mas a letra grega p tornou-se bastante aceite depois de Leonhard Euler usá-la no seu famoso livro Introductio in Analysin Infinitorum, publicado em 1748. Acredita-se que a letra p  foi escolhida por ser a primeira letra das palavras gregas para perímetro e periferia.

Em 1736 Leonhard Euler mostrou que o somatório da série :

Ele também mostrou que esta série pode ser expressa como um produto infinito envolvendo todos os números primos, 2, 3, 5, 7, 11(…). Especialmente ele mostrou que:

                 

As pessoas calculavam mais e mais casas decimais para p , procurando encontrar padrões que se repetissem, mas nenhum foi encontrado. Em 1761 um matemático Alemão, Johann Lambert usou uma fracção continua para a tangente trignométrica de um ângulo que mostra conclusivamente que p  é irracional, isto é , p não é razão de dois inteiros. Também, A. M. Legendre, em 1794 vem provar o mesmo que Lambert. A estes dois, segue-se Vega que em 1796 dá uma aproximação de p com 140 casas decimais. E em 1844, um Vienense, dá uma aproximação com 205 casas decimais.

Gauss (1777-1855) é autor de três formulas a partir das quais p  pode ser definido:

Um novo record para calcular p  foi alcançado em 1874 por Willian Shanks, com 707 casas decimais. Infelizmente, houve um erro a partir da 528ª casa, que só foi descoberto em 1945 quando D. F. Ferguson completou o cálculo com mais de 530 casas decimais.

A raíz quadrada de dois, tal como p , é também irracional mas há uma diferença significante entre os dois, que tem a ver com a geometria. Um segmento de linha de comprimento Ö2 pode ser construído a partir do segmento de comprimento um, pelo método de Euclides, isto é, usando só régua e compasso. Mas um segmento de comprimento p  não pode ser construído desta maneira. Sabe-se que muitos números podem ser construídos pelo método de Euclides, eles são raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros. O número Ö2 é um exemplo porque é raíz de uma equação: X2-2=0.

Números reais como Ö2, são raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros, e são chamados números algébricos. Números como p que não são algébricos são chamados de números transcendentes. Em 1882 um matemático alemão, F. Lindemann provou que quer p  quer Öp são transcendentes, pois não são raízes de nenhum polinómio com coeficientes racionais.

 

Século XX

Foi a partir do século XX, mais concretamente a partir de 1949, com o auxilio dos computadores e de algoritmos computacionais que se foi descobrindo um número cada vez maior de casas decimais para p. Um algoritmo, da autoria de Brent e Salamin (1975), foi utilizado pelos japoneses Y. Kanada, Y. Tamura, S. Yoshino, Y. Ushiro que o implementaram, em 1983, obtendo-se assim 16 milhões de algarismos. Estas contas foram posteriormente verificadas por meio da relação de Gauss, o que mostrou que as primeiras 10.013.395 casas estavam correctas. Gosper, utilizando um algoritmo, calculou, em 1985, 17 milhões de algarismos e, Bailey, em Janeiro de 1986, atingiu o record de 29 milhões com a ajuda de um Cray-2. Em Setembro de 1986, Kanada obteve 33.554.000 algarismos, depois em Janeiro de 1987, consegue calcular 227 algarismos e por último em Janeiro de 1988 chega a 201.326.551 algarismos. Anos mais tarde, Bailey e Gregory Chudnovsky, da Columbia University, calcularam mais de um bilião de casas decimais para p, este valor foi ultrapassado em 1995, por investigadores japoneses que obtiram três biliões de casas decimais para p. Em Setembro de 1995, Yasumana Kanada, depois de ter colocado o seu computador Hitachi a trabalhar durante mais de 250 horas, obteve 6.442.450.939 casas decimais exactas deste número. Este record acaba por ser ultrapassado quando em Junho de 1997 obtem 51.539.600.000 casas decimais exactas!…

Em Outubro de 1996, o francês Fabrice Bellard de 25 anos, calcula o valor de p  mas em numeração binária, atingindo sucessivamente as fasquias de 400 biliões, mas em Setembro de 1997 ele consegue atingir 1.000 bilião de casas decimais para p, ao fim de 25 dias de cálculo intensivo em computadores ligados em rede através da Internet, tendo sido usada uma fórmula desenvolvida em 1995 por matemáticos da Universidade Simon Fraser, mas aperfeiçoada por Bellard.

 

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