A quadratura do círculo

 

Vão pensar, em que medida é que a quadratura do círculo se relaciona com o número p , mas se forem pacientes depressa vão compreender em que medida é que se relacionam.

Muito antes de Jesus Cristo, os gregos interessaram-se por três problemas geométricos que se tornaram célebres. Tratava-se de realizar, com o auxílio da régua e do compasso, as seguintes operações:

  1. A duplicação do cubo: construir um cubo de volume duplo ao de um cubo dado;
  2. A trissecção de um ângulo: construir um ângulo igual ao terço de um ângulo dado;
  3. A quadratura do círculo: construir um quadrado da mesma área que um círculo dado.

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Durante séculos, matemáticos e apaixonados pela matemática propuseram diversificadas soluções para estes problemas. Todas elas estavam incorrectas.

Teve que se esperar pelo século XIX para se poder demonstrar a impossibilidade de realizar semelhantes construções unicamente com o auxilio de régua e compasso.

Em particular, com origem nos trabalhos de F. von Lindemann em 1882, pôde estabelecer-se que a quadratura do círculo era impossível. Lindemann demontrou que o número p é um número transcendente (quer dizer, não é solução de nenhuma equação algébrica cujos coeficientes sejam números racionais) e que Öp  também o é.

A descoberta de Lindemann resolveu o problema colocado pelos Gregos. Eles perguntavam qual dos dois era possível para construir, pelo método de Euclides, um quadrado de área igual a um círculo dado. O problema tornou-se conhecido como a "quadratura do círculo". Se o raio do círculo é 1, a sua área é p  então cada lado do quadrado proposto teria o comprimento de Öp . A demonstração de Lindemann em que Öp é transcendente prova que é impossível quadrar o círculo. Isto não significa que o quadrado proposto não exista. Ele existe mas não pode ser construído pelo modo proposto pelos geómetras Gregos, usando só régua e compasso.

 

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