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        Entre as funções exponenciais de base superior a 1, tem particular interesse estudar a função cuja base é o número e = 2,7182818284590452353602874........, que é designado por Número de Neper.

 

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 Boorman calculou o Número de Neper
com 346 casas decimais.   

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       O número e é um número místico da Matemática  tal como o pi.   O número pi apareceu no cálculo da área e do perímetro do círculo. O número e aparece na resolução de equações em que as incógnitas aparecem em expoente.

    Também como o pi, o e é um número irracional, mas de uma categoria diferente de raiz de 2, por exemplo. Enquanto raiz de 2 é raiz de um polinómio, por exemplo de x2 - 2, o número e não pode ser raiz de um polinómio de coeficientes inteiros.  Assim, o e é um irracional transcendente (como o pi).

 

 

 

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    A representação do nú- mero 2,718281828459...
pela letra e surgiu, pela primeira vez, no século XVIII com Euler. Esta designação conserva-se como homenagem a este matemático, embora o número seja chamado Número de Neper.

    Neper não se apercebeu da importância do número  e.   Só um século depois, com o desenvolvi- mento do cálculo infinitesimal, se veio a reconhecer o papel relevante deste número.

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    Não é muito fácil perceber qual o comportamento da sucessão de termo geral 
(1+ 1/n)n,
pois quando n tende para +oo,
a base decresce e o expoente cresce ...

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1) lim ( 1 + 1/an )an = e,   se an tende para +oo. 4) lim ( 1 + 1/n )kn = ek
2) lim ( 1 + 1/n )n+a = e 5) lim ( 1 + 1/kn )n = e1/k
3) lim ( 1 + 1/(n+a) )n = e 6) lim ( 1 + x/an )an = ex,  se an tende para +oo ou -oo e x pertence a R.

 

 

 

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Esta função apresenta as mesmas propriedades
de qualquer função exponencial de base a > 1.

 

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        Proponha-lhes que:máquina1.gif (3283 bytes)

        1. Considerem a função y = ex.                    
        2. Esbocem o seu gráfico.
        3. Façam o seu estudo completo.
        4. Comparem os resultados obtidos com o quadro da função exponencial de   base a > 1.

 

 

 

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        A função exponencial y = ex  aparece na descrição de vários fenómenos naturais e evolutivos. É o que se passa, por exemplo, na capitalização de juros (Economia), no crescimento de uma população (Biologia), na desintegração radioactiva (Química), na propagação de uma doença (Medicina), entre outros.

        De que modo? Vejamos algumas aplicações ao mundo real. Mostre-as aos seus alunos.

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    bactéria8.gif (2352 bytes)bactéria6.gif (2609 bytes)bactéria9.gif (2901 bytes)bactéria7.gif (2863 bytes)                                                                                     bomba1.gif (4048 bytes)

 

 

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        Uma porção de substância radioactiva desintegra-se espontaneamente segundo uma lei de decrescimento exponencial:                          m = m0 e-kt ,
onde k é uma constante positiva, t é o tempo (em anos) e m0 é a massa no instante t = 0.