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    Poliedros são sólidos limitados por polígonos.

    Os polígonos são as faces do poliedro (são as figuras planas que o limitam), os lados dos polígonos são as arestas do poliedro (são os segmentos de recta que limitam as faces), e os vértices dos polígonos são os vértices do poliedro (são os pontos de encontro das arestas).

    Os vértices, as arestas e as faces de um poliedro dizem-se os elementos do poliedro.

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    Os poliedros podem ser Convexos ou Côncavos. Os poliedros são convexos quando se encontram todos para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas faces, ou seja, quando as suas faces deixam sempre as demais no mesmo semiespaço. Caso contrário, os poliedros dizem-se côncavos.

    Exemplo de um poliedro côncavo:

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    Uma relação válida para todos os poliedros que iremos referir neste trabalho, é a Relação de Euler, descoberta pelo matemático suíço Euler:

n.º faces + n.º vértices = n.º arestas + 2

    Em alguns poliedros, todas as faces são polígonos regulares geometricamente iguais e em cada um dos seus vértices encontra-se o mesmo número de arestas. A estes poliedros chamamos Poliedros Regulares. Estes são também conhecidos por Sólidos Platónicos.

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    Observando o sólido que se encontra representado na figura anterior analisemos as suas regularidades (propriedades que se mantêm constantes entre os seus elementos) e irregularidades.

    As regularidades que se encontram são as de que todas as faces e todas as arestas são congruentes (geometricamente iguais). Nas irregularidades temos que o número de faces ou de arestas concorrentes em cada vértice não é sempre igual, existem vértices onde concorrem quatro arestas e outros onde concorrem apenas três.

    Os sólidos representados na figura seguinte são poliedros regulares, pois não apresentam irregularidades:

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    Chamam-se vértices equivalentes ou idênticos aqueles onde concorre o mesmo número de faces ou arestas.

    Os prismas e as pirâmides são os poliedros mais fáceis de visualizar e de planificar. No entanto, existem muitos mais poliedros, sendo enorme a variedade das suas formas e muitos deles são de grande beleza.

    A melhor forma de compreender os poliedros é construí-los, e seguidamente observá-los, compará-los e modificá-los. Um poliedro, quando é observado, é visto como porção de espaço limitada por polígonos, daí que seja natural proceder à sua construção utilizando polígonos em papel ou cartolina, unindo os seus lados com fita-cola e formando assim as arestas.

   O recurso a modelos geométricos no ensino da Geometria é universalmente reconhecido. É importante conhecer e utilizar alguns materiais produzidos pela própria indústria com este objectivo, mas também convém valorizar o papel formativo da própria construção de alguns modelos pelos alunos. Convém ainda ter em conta os recursos financeiros das escolas, e por isso é preferível adquirir poucos, mas bons materiais, e construir os outros com os alunos, na sala de aula.

    Seguidamente, apresentamos algumas sugestões neste sentido:

    A partir das planificações de sólidos, é possível a sua construção através de cartolina, acetato ou folha de plástico rígido, que são bons materiais para este efeito.

    Os modelos geométricos assim construídos ficam com as faces representadas, e caso o material usado seja transparente, podem-se unir pontos das faces com linhas ou varetas e obter outros poliedros com eles relacionados, diagonais, referenciais, etc.

    Através destes materiais podem-se construir também polígonos regulares e não regulares de vários tipos, com abas que servem para os unir com elásticos. Estes polígonos são óptimos para fazer experiências de construção de poliedros, nomeadamente dos poliedros platónicos, arquimedianos, estrelados, etc.

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    No mercado especializado encontram-se à venda polígonos de um material plástico com encaixes para construção de poliedros. Este material é de origem inglesa e chama-se Polydron. O Polydron é um material potencialmente motivador, que permite a manipulação individual e que é matematicamente apropriado para representar certos conceitos, tornando-se aconselhável a sua utilização na sala de aula, através de actividades que permitam trabalhar, de diferentes formas, o conceito em estudo.

 

    É possível visualizar um poliedro a partir da "armação" constituída pelas suas arestas. No mercado já existem materiais para este tipo de construção através de pequenas varas e mecanismos de encaixe, como por exemplo Poliedros:

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    Com as palhinhas habituais que se usam para bebidas e que todos conhecemos, podem-se construir óptimos modelos de "esqueletos" de sólidos. Basta que para tal, se passe uma linha por dentro das palhinhas as vezes que forem necessárias.

    Convém ter em atenção que nos vértices as linhas devem ter sempre um nó para os fixar.

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    Estes modelos apresentam as seguintes vantagens:

        - Boa visibilidade da parte interior dos sólidos e das posições relativas de arestas e diagonais (as diagonais espaciais podem ser feitas também com palhinhas);

        - Facilidade de representar um referencial fazendo passar varetas nas palhinhas ou entre elas.

 

   Nota: Os professores interessados na utilização deste material podem obter mais informações e propostas de actividades no artigo da revista Educação & Matemática n.º 38, "Incentivando a visualização espacial através de propriedades geométricas de tetraedros duais", de Ana Maria Kaleff e Dulce M. Rei.

 

    Os modelos mais adequados para estudar cortes em sólidos são os poliedros de acrílico transparente com uma abertura através da qual se poderá introduzir um líquido colorido lá dentro. Desta forma, a superfície plana do líquido simula o plano de corte e fazendo variar a posição do poliedro observam-se as várias possibilidades de cortes.

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    Este material pode ser mandado construir em casas da especialidade ou adquirido na Associação de Professores de Matemática.

 

    Nota: Informações acerca das potencialidades da utilização deste material podem ser obtidas no artigo da  revista Educação & Matemática n.º 26, "Tudo o que há num cubo", de Eduardo Veloso.

 

    Informações mais detalhadas acerca de cada um dos poliedros seguintes podem ser obtidas se clicar nos links respectivos:

* Cubo

* Paralelepípedo Rectângulo

* Pirâmides

* Prismas

 

Para mais informações sobre poliedros consulte:

http://www.Polydron.com/

http://jurere.mtm.ufsc.br/~taneja/formulas/geom/cont/polconv.html

http://www.unibase.com/~shase/poly1.html

http://www.physics.orst.edu/~bulatov/polyhedra/uniform/index.html

http://www.physics.orst.edu/~bulatov/polyhedra/spherical/index.html

http://www.physics.orst.edu/~bulatov/polyhedra/kaleidoscope/index.html