Sólidos Geométricos

 

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    No contacto diário que vamos tendo com os objectos que nos envolvem, vamo-nos habituando a designar alguns deles por determinados nomes, cujo significado matemático, não sendo precisamente o mesmo, tem no entanto, muito de comum.

    Aos objectos que nos rodeiam e que apresentam as mais diversas formas, ocupando no espaço um certo lugar e tendo uma forma imutável desde que não seja exercida nenhuma acção particular sobre eles, chamamos sólidos.

    Uns são limitados por superfícies planas (aos quais chamamos poliedros), outros por superfícies curvas e outros ainda são limitados por superfícies planas e curvas (aos quais chamamos não poliedros).

    No estudo da forma dos corpos e das suas propriedades, a geometria reduz os corpos a conjuntos de pontos cujas posições relativas são invariáveis, com os quais constrói símbolos das mesmas formas, a que chama Sólidos Geométricos.

    São exemplos de sólidos geométricos o Cubo, o Paralelepípedo, o Prisma, a Pirâmide, o Cilindro, o Cone, a Esfera....

 

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    A alguns dos objectos que nos rodeiam chamamos cubo, esfera, paralelepípedo, cone, etc. No entanto, cada um destes nomes não designa propriamente um desses objectos, mas sim um sólido geométrico ideal (pois não existe fisicamente), que matematicamente representa o conjunto de todos os sólidos com uma dada forma. Por exemplo, um dado dados.wmf (2966 bytes) é um objecto de forma cúbica a que podemos chamar cubo; porém, cubo, mais rigorosamente, designa um sólido geométrico ideal. Um pacote de leite é exemplo de um objecto com a forma de paralelepípedo; uma lata de ervilhas de conserva é um exemplo de um objecto com a forma de cilindro e muitos outros de uso corrente se poderiam enumerar. Estes e outros exemplos deverão ser mencionados na sala de aula para uma melhor visualização de sólidos por parte dos alunos.

 

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    Todos os objectos que nos circundam, para além de ocuparem um determinado espaço, tem também uma determinada superfície de contacto com o espaço exterior. Diremos que vários objectos têm o mesmo volume, se ocuparem o mesmo espaço, embora possam ter formas diferentes. Para que os alunos compreendam a noção de volume, pode-se apresentar-lhes o exemplo da bola de futebol WB01655_.gif (348 bytes)que cheia ocupará um determinado espaço e terá uma certa superfície, e é claro que se a esvaziarmos, amachucando-a, a superfície manter-se-á mas o espaço ocupado pela bola diminuirá. Neste caso, a área da superfície da bola manteve-se mas o seu volume diminuiu.

     Sólidos geométricos equivalentes: Dois sólidos geométricos dizem-se equivalentes se tiverem o mesmo volume.

    Um princípio útil para determinar os volumes de sólidos geométricos, é o seguinte:

    Princípio de Cavalieri: Se dois sólidos, assentes sobre um plano, são seccionados por todo o plano paralelo ao plano dado, segundo figuras com a mesma área, então os sólidos têm o mesmo volume.

    Curiosidade: Bonaventura Cavalieri foi discípulo de Galileu e professor de Matemática na Universidade de  Bolonha, durante a primeira metade do século XVII.

 

VOLUMES DE SÓLIDOS 

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    O volume da pirâmide e do cone, sólidos com uma só base, é sempre igual ao produto de 1/3 da área da base pela altura.

 

V = 1/3 Ab . h, onde: Ab - área da base

                        h - altura

  

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    O volume do cubo, do paralelepípedo, do prisma (triangular, pentagonal,...), sólidos com duas bases, é sempre igual ao produto da área da base pela altura.

 

V = Ab . h, onde: Ab - área da base

                    h - altura

 

ÁREAS DE SÓLIDOS 

 

    A área lateral dos poliedros (cubo, paralelepípedo e prisma) calcula-se adicionando a área das faces laterais, ou seja, é a soma das áreas das faces laterais. Também se pode calcular a área lateral dos poliedros aplicando a fórmula que se usa para o cilindro.

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Área lateral = perímetro da base . altura

 

    A área total de qualquer dos sólidos (cubo, paralelepípedo, prisma e cilindro) é igual à soma da área lateral com a área das duas bases.

 

At = Al + 2Ab, onde: At - área total

                                  Al - área lateral

                                    Ab - área da base

 

    Uma vez que a determinação de áreas e volumes tem um grande interesse prático, torna-se conveniente agrupá-las e relacioná-las num quadro-resumo:                          

  Área Total Volume
Prisma

Cilindro

At = Al + 2Ab V = Ab . h
Pirâmide

Cone

At = Al + Ab V = (Ab . h) ¸ 3
Esfera 4p r2 (4p r3) ¸ 3