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    Resolver equações, pressupõe uma série de conhecimentos básicos, portanto, pensamos ser indispensável que o professor faça uma breve revisão sobre o modo de resolver equações (do 1º grau).

    No que diz respeito às equações do 2º grau, é importante que o professor explique que para resolver uma equação existem vários processos de resolução. Os diferentes processos de resolução podem ser agrupados consoante o tipo de equações do 2º grau, completas ou incompletas.
    No caso das incompletas, temos que ter em conta o que é que a torna incompleta: se é o termo em x (b), se é o termo independente (c) ou até ambos.


    O professor deve referir novamente que uma equação do 2º grau é do tipo
ax2+bx+c=0, em que a é diferente de zero, pois se fosse zero tínhamos zero a multiplicar por x2 e por conseguinte não haveria termo em x2, logo a equação não seria do 2º grau.


    Depois deste à parte, que pensamos ser importante para um melhor entendimento por parte dos alunos do que é uma equação do 2º grau, o professor deve começar por analisar então o caso mais simples que acontece quando, tanto o termo em x como o termo independente são zero (
b=0 e c=0). Estas equações são conhecidas como equações do tipo

ax2=0

    Neste caso estamos perante uma solução nula. Deve-se ter em atenção que a equação deve estar num português corrente para que o aluno comece a ter sensibilidade para o que está escrito em linguagem matemática, como por exemplo fazê-lo ver que ter esta equação é o mesmo que perguntar:

          Quais são os números que elevados ao quadrado dão zero?

    É conveniente salvaguardar que esta pergunta só deve ser feita depois de se ter eliminado o a .

    Só depois o professor deve passar para uma resolução mais analítica, onde o processo utilizado é a aplicação directa da definição de
raiz quadrada.
    Ora vejamos…
                            

ax2=0

    Dividindo tudo por a, vem

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    Como zero a dividir por qualquer n.º dá zero

x2=0

    Aplicando agora a noção de raiz

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    Obtendo assim a solução

x=0


    Nunca é demais o professor alertar para o perigo de existirem duas soluções simétricas numa resolução onde se aplique a definição de raiz. Daí aparecer o sinal "mais ou menos". Deve ainda explicar que neste caso só aparece uma solução porque o zero é o seu próprio simétrico.   


    Depois de se efectuarem alguns exercícios, o professor poderá então passar ao caso em que
b é zero e c é diferente de zero, neste caso a equação é do tipo

ax2+c=0

    Vejamos que processo seguir para a sua resolução. Temos

ax2+c=0

    Vamos isolar o termo em x2

ax2=-c

    Dividindo tudo por a

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    Aplicando a raiz

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    O professor deve salientar novamente o facto de haver duas soluções simétricas, pois estamos a aplicar a definição de raiz quadrada. Importante também, e que não se pode deixar de salientar aos alunos, é o facto de só existirem raízes quadradas de números positivos (em R).Torna-se então necessário exigir que -c/a > 0, caso contrário não existe solução (em R) para este tipo de equações. Também nesta altura devemos informar os alunos que equações deste tipo, onde -c/a<0 chamam-se equações impossíveis (em R).

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    Um outro caso é o de b é diferente de zero e c é zero, isto é, a equação é do tipo

ax2+bx=0


    Um processo de resolução de equações deste tipo é a aplicação da
lei do anulamento do produto. Mais uma vez deve-se chamar a atenção dos alunos para o próprio nome da lei. Para se aplicar esta lei temos que estar na presença de uma equação que se escreva sob a forma de um produto igual a zero. Para se conseguir isso, o processo mais simples para equações deste tipo é pôr a incógnita em evidência, ou seja

ax2+bx=0 <=> x( ax+b ) =0

    Posto isto, deve-se perguntar aos alunos:

            
Quando é que um produto é zero?

   Ao qual eles devem responder:

           
  Quando pelo menos um dos factores for zero.

    É aqui que os professores devem dizer aos alunos que a lei do anulamento do produto, consiste tão só em transcrever para linguagem matemática a resposta que eles deram, ou seja:

x(ax+b)=0 <=> x=0 V ax+b=0


    É neste passo do exercício que se percebe o porquê de sugerirmos, como introdução, fazer uma revisão de equações do primeiro grau, que é no que consiste a conclusão da resolução de equações deste tipo.


    Nesta altura, o professor poderá efectuar alguns exercícios até se certificar que os alunos perceberam minimamente estas equações.

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    Resta então, analisar um último caso de equações de segundo grau, onde tanto o b como o c são diferentes de zero. Estas equações são do tipo

ax2+bx+c=0

são as chamadas equações completas.

    Quando temos uma equação deste tipo, o processo mais usual de resolução é o recurso à
Fórmula Resolvente:

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    O professor deve então explicar que para resolver uma equação através da fórmula resolvente, basta substituir na fórmula, os valores de a, b e c, e calcular. Pensamos que o professor poderá começar por apresentar algumas equações para os alunos identificarem os valores a, b e c.

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    Deve ser explicado aos alunos que este processo pode-se aplicar a qualquer tipo de equação do 2º grau.


    Uma pergunta pode e deve surgir:

   
Qual a contra-indicação desta fórmula ???

    O grande problema desta fórmula depreende-se com o facto de que a maior parte dos alunos ao saberem da sua existência, aplicam-na sem dó nem piedade. Aplicam-na sem primeiro pensarem se existe um processo mais simples de resolução, podendo muitas vezes aumentar o grau de exigência do exercício. Por esta razão é que pensamos que só se deve falar na fórmula resolvente depois de aprenderem os outros processos de resolução. Deve-se então chamar a atenção dos alunos para este facto e dizer-lhes que sempre que possível devemos poupar energia (nossa) e lápis (não escrevendo muito). Por isso, quando estamos na presença de uma equação do segundo grau, devemos gastar alguns segundos na sua análise e em descobrir qual o processo mais adequado à sua resolução. Embora saibamos que a fórmula resolvente se aplicaria, não o devemos fazer sem primeiro ver se esse seria o processo mais simples.



    Mas este não é o único problema da fórmula resolvente. Um outro problema é existirem equações do segundo grau, em que a incógnita não é o x, mas sim uma outra letra qualquer. Nesses casos devem-se procurar os valores possíveis para essa incógnita e não os valores de x. Os alunos que decoraram a fórmula resolvente e que não perceberam que o x dessa fórmula resolvente é a incógnita da nossa equação, ao passarem à fórmula resolvente mesmo tendo outra incógnita utilizam o x. Ao resolverem as equações, apresentam as respostas possíveis para x e não para a incógnita que se pretendia.


    Mas na resolução de equações do 2º grau existem diversos métodos para chegar ao resultado pretendido. Aqui também apresentamos alguns deles embora, para cada tipo de equações, já tenhamos apresentado aqueles que nos perecem ser os mais adequados.

    Uma equação do 2º grau, pode por vezes escrever-se como um caso notável. Se conseguirmos escrever uma equação do segundo grau como um caso notável podemos aplicar em seguida, para a sua resolução, ou a lei do anulamento do produto ou a noção de raiz quadrada, dependendo do caso notável que temos. Mas como explicar isso aos alunos?

    Talvez a forma mais fácil de eles entenderem, seja através de um exemplo. Dada a equação

4x2+12x=27

    Primeiro deve-se identificar qual o caso notável que está subjacente, neste caso é o primeiro

(a+b)2=a2+2ab+b2

   Deve-se também compreender que

4x2=(2x)2


    Então deve-se identificar que

a=2x

2ab=12x<=>2(2x)b=12x<=>
             
<=>(4x)b=12x

    Falta só identificar o valor de b, para isso basta fazer

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    Donde sai

b=3

    Podemos então completar o quadrado somando b2 a ambos os membros  

(2x)2+12x+32=27+32

    Passando agora à forma do caso notável

(2x+3)2=36

    Agora é só aplicar a raiz quadrada a ambos os termos, obtendo

2x+3=6

    O final da resolução resume-se a resolver uma simples equação do primeiro grau, donde sai que

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    O processo de resolução será análogo para o primeiro e para o segundo caso notável, mas para o terceiro caso notável o processo de resolução passa pela lei do anulamento do produto.

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    Outro processo de resolução para as equações do 2º grau, é resolver a equação geometricamente, ou seja, através das áreas. Para ver exemplos disso basta consultar neste mesmo site a introdução histórica e a parte relativa aos casos notáveis.

 

    Uma outra forma de se resolverem as equações do 2º grau é através de um sistema de equações, pois sabemos que a soma das raízes da equação

x2+bx+c=0

é -b e o seu produto é c. Não podemos deixar de salientar o facto de que para aplicar este processo, o coeficiente de x2, o a, tem que ser a unidade. Portanto, se o professor optar por ensinar este processo de resolução aos seus alunos, deve explicar que no caso de termos uma equação do tipo

ax2+bx+c=0

devem-se dividir ambos os termos por a. Obtendo assim uma equação da forma

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A esta equação já podemos aplicar o referido processo, onde a soma das raízes será

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e o seu produto será

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Outro dos processos que vamos falar é através de gráficos. Este processo é bem mais visual do que qualquer outro dos que já vimos, e pode ser aplicado a qualquer tipo de equações, sejam elas do primeiro, segundo ou de qualquer outro grau. Para a resolução basta que consigamos traçar o gráfico, pois por sua análise conseguimos tirar as soluções. Tirar as soluções de uma equação através do gráfico, é ver qual é coordenada da abcissa (x) quando a ordenada (y) é zero. Por outras palavras, é ver quando o gráfico da função intersecta o eixo das abcissas (x).

    Uma característica que nos pode ser útil na resolução de equações por este processo, é o facto de sabermos previamente que tipo de gráfico vamos ter. No caso que estamos a estudar, das equações de 2º grau, já sabemos que vamos ter uma parábola.

AG00021_.GIF (14873 bytes)    A máquina de calcular gráfica é um bom instrumento para se resolver equações por este processo.

    Em anos escolares posteriores, alguns dos mesmos alunos aprenderão a calcular zeros de funções quadráticas (de parábolas) através da calculadora, mas muitos deles nem repararão que estão apenas a resolver simples equações do 2º grau.


    Uma questão que pode ficar no pensamento dos alunos é:

   
"Se há assim tantos modos de resolução, como é que eu hei-de saber qual utilizar?"

    É importante que o professor informe que a escolha do modo a utilizar na resolução de equações do 2º grau, vai depender somente de quem as está a resolver, a menos que no exercício venha explicito qual o modo a seguir.


    Com esta liberdade de escolha não queremos, de maneira alguma, desprezar o papel importante, e a influência que um professor tem sobre os alunos.

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