Usando as Calculadoras Gráficas

 

     Podemos usar as calculadoras gráficas para desenhar estas funções, para depois podermos efectuar quer operações com essas funções, quer fazer o estudo dessas funções. Como exemplo, vamos ver como podemos usar as opções da calculadora Texas TI 83 como suporte no estudo de soma, produto, composição e inversas de funções, zeros, extremos, sinal e derivada de uma função.

 

Operações com Funções

 

     1. Soma algébrica de duas funções:

     Sendo f(x) = x2 e g(x) = 1/x, representar graficamente e por uma tabela a função soma, isto é, f + g.

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpe2F.jpg (2100 bytes)

Visualizar o menú Y = .

Escrever em Y1 a expressão x2.

Escrever em Y2 a expressão 1/x

wpe3C.jpg (2307 bytes)

wpe37.jpg (2610 bytes)

Escrever em Y3 a expressãoY1+Y2.

A expressão Y1+Y2 define a função soma das funções Y1 e Y2

wpe3D.jpg (2377 bytes)

wpe3B.jpg (1210 bytes)

Visualizar o menú ZOOM e escolher a opção 4.

A calculadora mostra imediatamente os gráficos das funções Y1, Y2 e Y3 = Y1+Y2.

wpe4E.jpg (2516 bytes)

wpe39.jpg (2190 bytes)

Visualizar o menú Y = .

Com as teclas de direcção posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y1, premindo de seguida a tecla ENTER. Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y1. Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y2, premindo de seguida a tecla ENTER. Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y2. Deste modo, fica apenas activo o gráfico correspondente a Y3.

wpe3E.jpg (2369 bytes)

wpe40.jpg (882 bytes)

Visualizar o gráfico correspondente a Y3, que  é o gráfico da função soma.

Observe-se, pelo gráfico, que a função soma não está definida em x = 0.

Algebricamente, verifica-se que (f+g)(x)= x3+1 /x, com x diferente de 0.

wpe3F.jpg (2083 bytes)

wpe39.jpg (2190 bytes)

Visualizar o menu Y = .

Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y1, premindo de seguida a tecla ENTER. Activamos, assim, o gráfico correspondente a Y1.

Com as teclas de direcção posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y2, premindo de seguida a tecla ENTER. Activamos, assim, o gráfico correspondente a Y2.

Deste modo, ficam activos os gráficos correspondentes a Y1, Y2 e Y3.

wpe4A.jpg (4835 bytes)

wpeA3.jpg (5723 bytes)

Visualizar o menu TABLE SETUP.

Neste estabelecemos o valor -5 para início da tabela e o valor 1 para incremento.

wpe49.jpg (5260 bytes)

wpeA4.jpg (4790 bytes)

Visualizar a tabela.

Para visualizar os valores X, Y1, Y2 e Y3 necessitamos de quatro colunas. Consequentemente, porque cada ecrã da calculadora só tem três colunas, é necessário recorrer a dois ecrãs da calculadora para visualizar todos os quatro valores.

Por observação dos valores de Y1(x) e Y2(x) verifica-se que os valores de (Y1+Y2)(x) resultam de adicionar Y1(x) com Y2(x).

Note-se, ainda, que Y2 e Y1+Y2 não estão definidas em x = 0.

wpe4D.jpg (11407 bytes)

      Se pretendermos definir graficamente e através de uma tabela a função diferença de f com g, isto é, f-g, usamos um procedimento semelhante àquele que utilizámos anteriormente para a soma f+g.

 

wpe3D.jpg (955 bytes)

 

2. Produto de duas funções:

    O produto das funções processa-se de modo idêntico à soma de funções.

 

3. Composta de duas funções:

     Sendo f(x) = x 1/2 e g(x) = x2, vamos representar graficamente e por uma tabela a função composta de f com g, isto é, a função g o f.

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpe5F.jpg (2289 bytes)

Visualizar o menu  Y = .

Escrever em Y1 a expressão x1/2.

Escrever em Y2 a expressão x2.

wpe41.jpg (2303 bytes)

wpe64.jpg (2708 bytes)

Escrever em Y3 a expressão Y2(Y1).

A expressão Y2(Y1) define a função composta das funções Y2 e Y1 e lê-se "Y2 após Y1".

wpe4F.jpg (2509 bytes)

wpe3A.jpg (1210 bytes)

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM,

sendo apresentados de imediato os gráficos das funções Y1, Y2 e Y3 = Y2(Y1).

Algebricamente, verifica-se que (g o f)(x) = x, com  x 0.

wpe42.jpg (2267 bytes)

wpe54.jpg (2207 bytes)

Visualizar o menu TABLE SETUP.

Neste menu estabelecemos o valor -3 para início da tabela e o valor 1 para incremento.

wpe50.jpg (2677 bytes)

wpe55.jpg (2171 bytes)

Visualizar a tabela.

Por observação dos valores de Y1(x) e Y2(x) verifica-se que os valores de (Y2 o Y1)(x) resultam de determinar a imagem de Y1(x) por Y2.

wpe78.jpg (4771 bytes)

 

     Deve-se ter uma especial atenção ao escrever na calculadora a expressão que define a composta de duas funções. No caso da definição da função composta Y2 após Y1, isto é, Y2 o Y1, a expressão Y2(Y1) que a define é diferente das expressões Y2 x (Y1) e Y2 x Y1. Qualquer destas duas últimas expressões define a função produto de Y1 por Y2.

     Agora, sendo f(x) = x1/2 e g(x) = x2, vamos representar graficamente a função composta de g com f, isto é, a função f o g.

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpe51.jpg (2236 bytes)

Visualizar o menu Y = .

Com as teclas de direcção, posicionar o cursor

sobre o sinal de = de Y3, premindo de seguida a tecla ENTER.

Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y3.

wpe53.jpg (2532 bytes)

wpe82.jpg (2738 bytes)

Escrever em Y4 a expressão Y1(Y2).

A expressão Y1(Y2) define a função composta das funções Y1 e Y2 e lê-se "Y1 após Y2".

 

wpe54.jpg (2689 bytes)

wpe39.jpg (1210 bytes)

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentados de imediato os gráficos das funções Y1, Y2 e Y4 = Y1(Y2).

Algebricamente, verifica-se que (f o g)(x) = lxl, com x pertencente a R.

wpe55.jpg (2442 bytes)

wpe54.jpg (2207 bytes)

Visualizar o menu TABLE SETUP.

Neste menu estabelecemos o valor -3 para início da tabela e o valor 1 para incremento.

wpe56.jpg (2707 bytes)

wpe55.jpg (2171 bytes)

Visualizar a tabela.

Por observação dos valores de Y1(x) e Y2(x), verifica-se que os valores de (Y1 o Y2)(x) resultam de determinar a imagem de Y2(x) por Y1.

wpe57.jpg (4852 bytes)

 

     A consideração dos dois exemplos antes estudados permite concluir que g o f é diferente de f o g. Por conseguinte, em geral, a operação de composição de funções não é comutativa, como foi visto na Introdução às Funções.

     Todavia, há funções f e g para as quais se tem g o f = f o g. Quando tal acontece diz-se que as funções f e g são permutáveis.

     Sendo f(x) = x 3e g(x) = x2, vejamos através das suas representações gráficas que estas são funções permutáveis.

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpe5B.jpg (3910 bytes)

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão x3.

Escrever em Y2 a expressão x2.

wpe58.jpg (2350 bytes)

wpe5C.jpg (5473 bytes)

Escrever em Y3 a expressão Y2(Y1).

A expressão Y2(Y1) define a função composta Y2 após Y1.

wpe59.jpg (2363 bytes)

wpe5D.jpg (5660 bytes)

Escrever em Y4 a expressão Y1(Y2).

A expressão Y1(Y2) define a função composta Y1 após Y2.

wpe5A.jpg (2485 bytes)

wpe5B.jpg (2322 bytes)

Visualizar o menu Y = .

Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y1, premindo de seguida a tecla ENTER. Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y1.

Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y2, premindo de seguida a tecla ENTER. Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y2.

wpe5C.jpg (2563 bytes)

wpe39.jpg (1210 bytes)

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentados de imediato os gráficos das funções compostas Y3 = Y2(Y1) e Y4 = Y1(Y2).

wpe5E.jpg (2116 bytes)

wpe8B.jpg (1860 bytes)

Observando o ecrã vemos uma única representação gráfica. Na realidade existem dois gráficos sobrepostos.

No sentido de obtermos evidência acerca da existência dos dois gráficos sobrepostos recorremos, com a função TRACE activa, às teclas de direcção vertical para deslocar o cursor de um gráfico para o outro e às teclas de direcção horizontal para deslocar o cursor ao longo de cada um dos gráficos.

wpe8C.jpg (2186 bytes)

 

wpe3D.jpg (955 bytes)

 

4. Função Inversa:

     Sendo a função f(x) = x3, vamos representar graficamente a função f e a sua inversa f-1.

     Usamos a opção 8: DrawInv do menu DRAW, que permite obter uma representação gráfica da função inversa. Neste menu existem várias facilidades de desenho.

     Contudo, os desenhos obtidos através do DRAW não podem ser percorridos com o cursor quando a função TRACE está activa e desaparecem logo que se alteram os gráficos das funções não obtidos com o DRAW ou se escolhe de novo a mesma janela ou uma janela diferente para visualização dos gráficos.

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpe18.jpg (1728 bytes)

Visualizar o menu   Y = .

Escrever em Y1 a expressão x3.

wpe5F.jpg (2384 bytes)

wpe38.jpg (1210 bytes)

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico da função.

wpe8D.jpg (2200 bytes)

wpe43.jpg (2120 bytes)

Aceder ao ecrã de texto de limpar esse ecrã.

Visualizar o menu DRAW e seleccionar a opção 8: DrawInv.

wpe8E.jpg (1744 bytes)

wpe46.jpg (3991 bytes)

Escrever a variável dependente Y1.

wpe8F.jpg (1813 bytes)

wpe9F.jpg (1706 bytes)

Premindo a tecla ENTER visualiza-se imediatamente o gráfico da função, já obtido anteriormente, e o da função inversa.

 

wpe5E.jpg (4967 bytes)

Visualizar o menu Y = .

Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y1, premindo de seguida a tecla ENTER .

Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y1.

 

wpe4C.jpg (5289 bytes)

Aceder ao ecrã de texto.

Repetir a última expressão escrita.

 

wpe9F.jpg (1706 bytes)

Premindo a tecla ENTER obtém-se imediatamente o gráfico da função inversa.

Observe-se que não se tem o gráfico da função correspondente a Y1, pois a respectiva expressão foi desactivada.

 

 

     Sendo a função f(x) = x2 uma função não injectiva, ela não tem inversa. Será que a calculadora ainda desenha o gráfico da relação inversa de f?

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpe62.jpg (3316 bytes)

Visualizar o menu   Y = .

Escrever em Y1 a expressão x2.

wpe5E.jpg (7991 bytes)

wpe37.jpg (1210 bytes)

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico da função.

wpe61.jpg (2563 bytes)

wpe44.jpg (2120 bytes)

Aceder ao ecrã de texto e limpar esse ecrã.

Visualizar o menu DRAW e seleccionar a opção 8: DrawInv.

wpe93.jpg (1759 bytes)

wpe65.jpg (4140 bytes)

Escrever a variável dependente Y1.

wpe92.jpg (1813 bytes)

wpe9F.jpg (1706 bytes)

Premindo a tecla ENTER visualiza-se imediatamente o gráfico da função inversa, já obtido anteriormente, e o da relação inversa.

wpe60.jpg (2400 bytes)

 

     Este exemplo mostra que a opção 8: DrawInv do menu DRAW permite desenhar o gráfico da relação inversa de uma dada função, quer esta relação inversa seja ou não função. Portanto, se estivermos interessados em estudar se uma dada função tem ou não inversa devemos verificar se a função dada é ou não injectiva, pois a calculadora a partir da opção 8: DrawInv do menu DRAW não distingue as funções que têm inversa daquelas que não têm.

wpe3D.jpg (955 bytes)

 

Estudo de Funções

     A calculadora dispõe de várias facilidades de cálculo com especial interesse para o estudo de funções. Estas facilidades de cálculo, acessíveis no menu CALC, podem ser executadas a partir do ecrã de texto ou interactivamente sobre o próprio gráfico.

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpe22.jpg (1164 bytes)

Visualizar o menu CALCULATE.

Descrição de cada uma das opções do menu:

1. value (calcula o valor de uma função num ponto);

2. zero (determina um zero de uma função);

3. minimum (calcula o mínimo relativo de uma função);

4. maximum (calcula o máximo relativo de uma função);

5. intersect (determina as coordenadas de um ponto de intersecção de dois gráficos correspondentes a outras duas funções);

6. dy/dx (determina a derivada numérica de uma função num ponto);

7. òf(x)dx (determina o integral numérico de uma função entre dois pontos).

wpe62.jpg (2845 bytes)

 

     Deve observar-se que a função TRACE, além de permitir percorrer o gráfico de uma função, também permite calcular o seu valor num ponto. Em consequência, a função value pode ser substituída com vantagem pela função TRACE, pois esta é de utilização mais imediata.

     A opção 7: òf(x)dx, que permite calcular o integral numérico de uma função, não será objecto de estudo uma vez que esse assunto não faz parte dos actuais programas do Ensino Secundário.

 

1. Zeros de uma Função:

     Vamos determinar o zero da função f(x) = x3 - 4.

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpe79.jpg (5263 bytes)

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão   x3 - 4, a qual define a função.

wpe82.jpg (8397 bytes)

wpe7A.jpg (2446 bytes)

Seleccionar a opção 6: ZStandard do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico da função.

wpe63.jpg (3911 bytes)

wpe80.jpg (3673 bytes)

Seleccionar a opção 2: zero do menu CALCULATE.

wpe84.jpg (7687 bytes)

wpe81.jpg (3771 bytes)

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à esquerda do zero. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite inferior de um intervalo em que se encontra o zero.

wpe85.jpg (8460 bytes)

wpe81.jpg (3771 bytes)

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à direita do zero. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite superior de um intervalo em que se encontra o zero.

wpe86.jpg (8703 bytes)

wpe9F.jpg (1706 bytes)

Premindo novamente a tecla ENTER obtém-se um valor aproximado do zero. Obteve-se x = 1,5874011 para valor aproximado do zero.

wpe87.jpg (7610 bytes)

 

       Este procedimento pode ainda ser usado para resolver equações.

     Vamos resolver a equação 2x3 + x 2= 6x + 3.

     Para resolver esta equação basta considerar duas funções cujas expressões são os membros da equação, isto é, y = 2x3 + x2 e y = 6x + 3. As soluções da equação são, então, as abcissas dos pontos de intersecção dos gráficos das duas funções.

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpe88.jpg (8087 bytes)

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão 2x3 + x2, a qual corresponde ao primeiro membro da equação.

wpe8C.jpg (8722 bytes)

wpe89.jpg (4019 bytes)

Escrever em Y2 a expressão 6x + 3, a qual corresponde ao segundo membro da equação.

wpe8D.jpg (9025 bytes)

wpe8A.jpg (1653 bytes)

Visualizar o menu WINDOW.

Estabelecer o intervalo [-5,5] no eixo dos xx, com o incremento 1, e o intervalo [-20,20] no eixo dos yy, com o incremento 2. Assim, [-5,5] x [-20,20] define o rectângulo de visualização do gráfico.

wpe8E.jpg (9723 bytes)

wpe8B.jpg (1711 bytes)

Visualizar os gráficos das funções Y1 e Y2.

wpe8F.jpg (7079 bytes)

wpe90.jpg (3708 bytes)

Seleccionar a opção 5: intersect no menu CALCULATE.

wpe92.jpg (8393 bytes)

wpe91.jpg (3760 bytes)

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, deslocar o cursor sobre um dos gráficos de modo a que fique suficientemente próximo do ponto de intersecção dos gráficos que se pretende estudar.

Seguidamente, premir de novo a tecla ENTER.

Observe-se que o cursor se deslocou para o outro gráfico.

wpe93.jpg (9524 bytes)

wpe9F.jpg (1706 bytes)

Seguidamente, premir de novo a tecla ENTER.

Deve notar-se que, quando temos mais de dois gráficos, pode existir a necessidade de deslocar o cursor de um gráfico para o outro de modo a relacionar os dois gráficos pretendidos.

Consegue-se isso premindo as teclas de deslocação vertical.

wpe96.jpg (8590 bytes)

wpe9F.jpg (1706 bytes)

Finalmente, premindo a tecla ENTER obtêm-se as coordenadas do ponto de intersecção dos gráficos.

Obteve-se x = 1,7320508 para valor aproximado da raiz da equação.

wpe98.jpg (8735 bytes)

 

     O procedimento utilizado para determinar uma das raízes da equação pode ser repetido para determinar as outras duas raízes da equação.

     Em alternativa, observando que a equação 2x3 + x2 = 6x + 3 é equivalente à equação 2x3 + x2 - 6x - 3 = 0, conclui-se que as suas soluções são os zeros da função y = 2x3 + x2 - 6x - 3, bastando então repetir o procedimento já observado para calcular os zeros desta função.

 

wpe3D.jpg (955 bytes)

 

2. Valores máximo e mínimo de uma função num intervalo:

     A possibilidade da calculadora determinar o valor máximo e o valor mínimo de uma função num intervalo pode ser explorada para determinar extremos relativos de uma função.

     Vamos determinar os extremos relativos da função Y = x4 - 4x2 - 5.

 

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpeA1.jpg (9388 bytes)

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão x4 + 4x2 - 5.

wpeA8.jpg (8712 bytes)

wpeA2.jpg (1713 bytes)

Visualizar o menu WINDOW.

Estabelecer o intervalo [-4,7;4,7] no eixo dos xx, com o incremento 1, e o intervalo [-15,15] no eixo dos yy, com o incremento 3. Assim, [-4,7;4,7] x [-15,15] define o rectângulo de visualização do gráfico.

wpeA9.jpg (9972 bytes)

wpeA3.jpg (1620 bytes)

Visualizar o gráfico da função Y1.

wpeAA.jpg (7865 bytes)

wpeA4.jpg (3735 bytes)

Seleccionar a opção 3: minimum do menu CALCULATE.

wpeAB.jpg (8433 bytes)

wpe9D.jpg (3521 bytes)

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à esquerda do primeiro mínimo. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite inferior de um intervalo em que se encontra o mínimo.

wpeAC.jpg (8956 bytes)

wpe9D.jpg (3521 bytes)

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à direita do primeiro mínimo. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite superior de um intervalo em que se encontra o mínimo.

wpeAD.jpg (8598 bytes)

wpe9F.jpg (1706 bytes)

Premindo novamente a tecla ENTER obtém-se um valor aproximado do mínimo.

Obteve-se y = -9 para o valor do mínimo e x = -1,414213 para valor do minimizante.

Note-se que o mínimo da direita é também y = -9 e ocorre para x = -1,414213, pois a função é par.

wpeAE.jpg (8005 bytes)

wpeA7.jpg (3850 bytes)

Seleccionar a opção 4: maximum do menu CALCULATE.

wpeAF.jpg (8696 bytes)

wpe9D.jpg (3521 bytes)

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à esquerda do máximo. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite inferior de um intervalo em que se encontra o máximo.

wpeB0.jpg (8499 bytes)

wpe9D.jpg (3521 bytes)

Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à direita do máximo. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite superior de um intervalo em que se encontra o máximo.

wpeB1.jpg (8550 bytes)

wpe9F.jpg (1706 bytes)

Premindo novamente a tecla ENTER obtém-se um valor aproximado do máximo.

Obteve-se y = -5 para o valor do máximo e x = 1,5938 x 10-6 para o valor do maximizante. Em termos exactos, o máximo é -5 e o maximizante é o 0.

wpeB2.jpg (8248 bytes)

  

wpe3D.jpg (955 bytes)

 

3. Sinal e Variação de uma Função:

     A partir da observação do gráfico de uma função podemos tirar conclusões acerca do sinal e da variação de uma função. Para tal, consideram-se os seus zeros e os seus extremos.

   Vamos estudar o sinal e a variação da função y = x5 - 3x4 - x + 3.

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpeB3.jpg (10380 bytes)

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão x5 - 3x4 - x + 3.

wpeB8.jpg (8781 bytes)

wpeB4.jpg (1747 bytes)

Visualizar o menu WINDOW.

Estabelecer o intervalo [-4,7;4,7] no eixo dos xx, com o incremento 1, e o intervalo [-25,20] no eixo dos yy, com o incremento 4. Assim, [-4,7;4,7] x [-25,20] define o rectângulo de visualização do gráfico.

wpeB9.jpg (9882 bytes)

wpeB5.jpg (1697 bytes)

Visualizar o gráfico da função Y1.

wpeBA.jpg (8087 bytes)

wpeB6.jpg (4404 bytes)

 

wpeB7.jpg (2355 bytes)

 

wpeBD.jpg (2517 bytes)

Determinando o valor da função em x = -1, verifica-se que -1 é um zero da função.

Determinando o valor da função em x = 1, verifica-se que 1 é um zero da função.

Determinando o valor da função em x = 3, verifica-se que 3 é um zero da função.

Note-se que os zeros podiam ser obtidos recorrendo à opção 2: zero do menu CALCULATE.

wpeBB.jpg (8077 bytes)

wpeBC.jpg (7845 bytes)

 

wpeBE.jpg (12339 bytes)

Seleccionar a opção 4: maximum do menu CALCULATE. Depois de definido um intervalo que contenha o máximo, premindo a tecla ENTER obtêm-se os valores do máximo e do maximizante.

Seleccionar a opção 3: minimum do menu CALCULATE. Depois de definido um intervalo que contenha o mínimo, premindo a tecla ENTER obtêm-se os valores do mínimo e do minimizante.

Seleccionar a opção 3: minimum do menu CALCULATE. Depois de definido um intervalo que contenha o mínimo, premindo a tecla ENTER obtêm-se os valores do mínimo e do minimizante.

wpeBF.jpg (8086 bytes)

wpeC0.jpg (8480 bytes)

wpeC1.jpg (8389 bytes)

 

wpe3D.jpg (955 bytes)

 

4. Derivada de uma Função:

     Com a calculadora conseguimos calcular o valor da derivada de uma função num dado ponto do seu domínio.

   Vamos calcular a derivada da função y = x2 em x = 0 e x = -1.

 

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpeC2.jpg (3250 bytes)

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão x2.

wpeC4.jpg (7965 bytes)

wpeC3.jpg (3652 bytes)

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico da função.

wpeC5.jpg (6937 bytes)

wpeC6.jpg (4944 bytes)

Calcular a derivada da função no ponto x = 0.

wpeC8.jpg (6601 bytes)

wpeC7.jpg (6008 bytes)

Calcular a derivada da função no ponto x = -1.

wpeC9.jpg (6803 bytes)

 

     Porém, existem casos em que a calculadora não determina correctamente o valor da derivada da função num ponto. Isto resulta de a calculadora determinar a derivada de uma função num ponto pelo método das diferenças simétricas. Este método considera para valor aproximado da derivada o declive da recta secante definida pelos pontos (x - h, f(x - h)) e (x + h, f(x + h)), isto é, o valor do quociente [f(x + h) - f(x - h)]/2h, com h positivo e o mais próximo possível de zero.

     Como exemplo, calculemos a derivada da função y = lxl no ponto de abcissa x = 0.

 

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpe41.jpg (15168 bytes)

Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão abs(x).

wpeCA.jpg (8486 bytes)

wpe36.jpg (1210 bytes)

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico.

wpeCB.jpg (7084 bytes)

wpe48.jpg (14477 bytes)

Calcular a derivada da função no ponto x = 0.

Obteve-se y'(0) = 0 para valor da derivada de y em x = 0. Note-se que a função y = lxl não tem derivada em x = 0, pelo que a calculadora apresentou uma resposta errada.

wpeCC.jpg (6837 bytes)

 

     Neste exemplo, em x = 0 tem-se f(x - h) = f(x + h), para qualquer valor de h > 0. Então, [f(x + h) - f(x - h)]/2h = 0 e, em consequência, quando x tende para zero temos que [f(x + h) - f(x - h)]/2h tende também para zero, de onde sai y'(0) = 0, como foi apresentado pela calculadora.

 

5. Gráfico da Função Derivada:

     Dada uma função f, definida por uma expressão algébrica, a calculadora não permite determinar a expressão algébrica que define a função derivada. Todavia, em relação ao gráfico da função derivada a situação é diferente. Recorrendo ao comando nDeriv(Y1,x,x) em que Y1 define a função f, x define a variável em relação à qual se pretende calcular a derivada e o segundo x estabelece a abcissa do ponto em que se determina a derivada da função, obtém-se a derivada da função em sucessivos pontos do intervalo do eixo dos xx, intervalo esse definido pela janela de visualização do gráfico. Finalmente, unindo os sucessivos pontos por segmentos de recta obtém-se um esboço do gráfico da função derivada de f.

    Como exemplo, vamos determinar um esboço do gráfico da função derivada de f(x) = x3- 2x.

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

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Visualizar o menu Y = .

Escrever em Y1 a expressão x3 - 2x e colocar o cursor em Y2.

wpe45.jpg (2312 bytes)

wpe98.jpg (3150 bytes)

Visualizar o menu MATH e seleccionar a opção 8: nDeriv(.

Escrever a expressão Y1,x,x), em que Y1 define a função, x é a variável relativamente à qual vai ser calculada a derivada e o segundo x é o ponto em que vai ser calculada a derivada.

wpe46.jpg (2454 bytes)

wpe35.jpg (1210 bytes)

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentados de imediato os gráficos da função e da função derivada.

Observe-se que, sendo a função dada uma função cúbica, a função derivada é uma função quadrática que tem por gráfico uma parábola.

wpe99.jpg (2420 bytes)

    

Repetindo o processo anterior, considerando agora a função derivada de f, obtém-se o gráfico da função segunda derivada de f. Usando a simbologia da calculadora, trata-se de escrever em Y3 a expressão nDeriv(Y2,x,x) e obter o seu gráfico.

 

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

wpe9A.jpg (911 bytes)

Visualizar o menu Y = .

Colocar o cursor em Y3.

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wpe9C.jpg (3050 bytes)

Visualizar o menu MATH e seleccionar a opção 8: nDeriv(.

Escrever a expressão Y2,x,x), em que Y2 define a função, x a variável relativamente à qual vai ser calculada a derivada e o segundo x é o ponto em que vai ser calculada a derivada.

wpe47.jpg (2793 bytes)

wpe34.jpg (1210 bytes)

Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentados de imediato os gráficos da função, da função primeira derivada e da função segunda derivada.

Observe-se que, sendo a função dada uma função cúbica, a função segunda derivada é uma função afim que tem por gráfico uma recta.

wpe48.jpg (2484 bytes)

 

wpe3D.jpg (955 bytes)

 

     Se quiseres ver outras calculadoras gráficas e suas funcionalidades, clica aí:

      wpe7C.jpg (869 bytes)  http://educ.fc.ul.pt/~icm23/

 

wpe47.jpg (1416 bytes)wpe53.jpg (1433 bytes)