Usando as Calculadoras Gráficas

Podemos usar as calculadoras gráficas para desenhar estas funções, para depois podermos efectuar quer operações com essas funções, quer fazer o estudo dessas funções. Como exemplo, vamos ver como podemos usar as opções da calculadora Texas TI 83 como suporte no estudo de soma, produto, composição e inversas de funções, zeros, extremos, sinal e derivada de uma função.

Sendo f(x) = x² e g(x) = 1/x, representar graficamente e por uma tabela a função soma, isto é, f + g.

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menú Y = . Escrever em Y1 a expressão x². Escrever em Y2 a expressão 1/x
	Escrever em Y3 a expressãoY1+Y2. A expressão Y1+Y2 define a função soma das funções Y1 e Y2
	Visualizar o menú ZOOM e escolher a opção 4. A calculadora mostra imediatamente os gráficos das funções Y1, Y2 e Y3 = Y1+Y2.
	Visualizar o menú Y = . Com as teclas de direcção posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y1, premindo de seguida a tecla ENTER. Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y1. Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y2, premindo de seguida a tecla ENTER. Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y2. Deste modo, fica apenas activo o gráfico correspondente a Y3.
	Visualizar o gráfico correspondente a Y3, que é o gráfico da função soma. Observe-se, pelo gráfico, que a função soma não está definida em x = 0. Algebricamente, verifica-se que (f+g)(x)= x³+1 /x, com x diferente de 0.
	Visualizar o menu Y = . Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y1, premindo de seguida a tecla ENTER. Activamos, assim, o gráfico correspondente a Y1. Com as teclas de direcção posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y2, premindo de seguida a tecla ENTER. Activamos, assim, o gráfico correspondente a Y2. Deste modo, ficam activos os gráficos correspondentes a Y1, Y2 e Y3.
	Visualizar o menu TABLE SETUP. Neste estabelecemos o valor -5 para início da tabela e o valor 1 para incremento.
	Visualizar a tabela. Para visualizar os valores X, Y1, Y2 e Y3 necessitamos de quatro colunas. Consequentemente, porque cada ecrã da calculadora só tem três colunas, é necessário recorrer a dois ecrãs da calculadora para visualizar todos os quatro valores. Por observação dos valores de Y1(x) e Y2(x) verifica-se que os valores de (Y1+Y2)(x) resultam de adicionar Y1(x) com Y2(x). Note-se, ainda, que Y2 e Y1+Y2 não estão definidas em x = 0.

Se pretendermos definir graficamente e através de uma tabela a função diferença de f com g, isto é, f-g, usamos um procedimento semelhante àquele que utilizámos anteriormente para a soma f+g.

Sendo f(x) = x ^1/2e g(x) = x², vamos representar graficamente e por uma tabela a função composta de f com g, isto é, a função g o f.

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menu Y = . Escrever em Y1 a expressão x^1/2. Escrever em Y2 a expressão x².
	Escrever em Y3 a expressão Y2(Y1). A expressão Y2(Y1) define a função composta das funções Y2 e Y1 e lê-se "Y2 após Y1".
	Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentados de imediato os gráficos das funções Y1, Y2 e Y3 = Y2(Y1). Algebricamente, verifica-se que (g o f)(x) = x, com x 0.
	Visualizar o menu TABLE SETUP. Neste menu estabelecemos o valor -3 para início da tabela e o valor 1 para incremento.
	Visualizar a tabela. Por observação dos valores de Y1(x) e Y2(x) verifica-se que os valores de (Y2 o Y1)(x) resultam de determinar a imagem de Y1(x) por Y2.

Deve-se ter uma especial atenção ao escrever na calculadora a expressão que define a composta de duas funções. No caso da definição da função composta Y2 após Y1, isto é, Y2 o Y1, a expressão Y2(Y1) que a define é diferente das expressões Y2 x (Y1) e Y2 x Y1. Qualquer destas duas últimas expressões define a função produto de Y1 por Y2.

Agora, sendo f(x) = x^1/2 e g(x) = x², vamos representar graficamente a função composta de g com f, isto é, a função f o g.

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menu Y = . Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y3, premindo de seguida a tecla ENTER. Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y3.
	Escrever em Y4 a expressão Y1(Y2). A expressão Y1(Y2) define a função composta das funções Y1 e Y2 e lê-se "Y1 após Y2".
	Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentados de imediato os gráficos das funções Y1, Y2 e Y4 = Y1(Y2). Algebricamente, verifica-se que (f o g)(x) = lxl, com x pertencente a R.
	Visualizar o menu TABLE SETUP. Neste menu estabelecemos o valor -3 para início da tabela e o valor 1 para incremento.
	Visualizar a tabela. Por observação dos valores de Y1(x) e Y2(x), verifica-se que os valores de (Y1 o Y2)(x) resultam de determinar a imagem de Y2(x) por Y1.

A consideração dos dois exemplos antes estudados permite concluir que g o f é diferente de f o g. Por conseguinte, em geral, a operação de composição de funções não é comutativa, como foi visto na Introdução às Funções.

Todavia, há funções f e g para as quais se tem g o f = f o g. Quando tal acontece diz-se que as funções f e g são permutáveis.

Sendo f(x) = x ³e g(x) = x², vejamos através das suas representações gráficas que estas são funções permutáveis.

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menu Y = . Escrever em Y1 a expressão x³. Escrever em Y2 a expressão x².
	Escrever em Y3 a expressão Y2(Y1). A expressão Y2(Y1) define a função composta Y2 após Y1.
	Escrever em Y4 a expressão Y1(Y2). A expressão Y1(Y2) define a função composta Y1 após Y2.
	Visualizar o menu Y = . Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y1, premindo de seguida a tecla ENTER. Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y1. Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y2, premindo de seguida a tecla ENTER. Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y2.
	Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentados de imediato os gráficos das funções compostas Y3 = Y2(Y1) e Y4 = Y1(Y2).
	Observando o ecrã vemos uma única representação gráfica. Na realidade existem dois gráficos sobrepostos. No sentido de obtermos evidência acerca da existência dos dois gráficos sobrepostos recorremos, com a função TRACE activa, às teclas de direcção vertical para deslocar o cursor de um gráfico para o outro e às teclas de direcção horizontal para deslocar o cursor ao longo de cada um dos gráficos.

Sendo a função f(x) = x³, vamos representar graficamente a função f e a sua inversa f^-1.

Contudo, os desenhos obtidos através do DRAW não podem ser percorridos com o cursor quando a função TRACE está activa e desaparecem logo que se alteram os gráficos das funções não obtidos com o DRAW ou se escolhe de novo a mesma janela ou uma janela diferente para visualização dos gráficos.

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menu Y = . Escrever em Y1 a expressão x³.
	Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico da função.
	Aceder ao ecrã de texto de limpar esse ecrã. Visualizar o menu DRAW e seleccionar a opção 8: DrawInv.
	Escrever a variável dependente Y1.
	Premindo a tecla ENTER visualiza-se imediatamente o gráfico da função, já obtido anteriormente, e o da função inversa.
	Visualizar o menu Y = . Com as teclas de direcção, posicionar o cursor sobre o sinal de = de Y1, premindo de seguida a tecla ENTER . Desactivamos, assim, o gráfico correspondente a Y1.
	Aceder ao ecrã de texto. Repetir a última expressão escrita.
	Premindo a tecla ENTER obtém-se imediatamente o gráfico da função inversa. Observe-se que não se tem o gráfico da função correspondente a Y1, pois a respectiva expressão foi desactivada.

Sendo a função f(x) = x² uma função não injectiva, ela não tem inversa. Será que a calculadora ainda desenha o gráfico da relação inversa de f?

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menu Y = . Escrever em Y1 a expressão x².
	Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico da função.
	Aceder ao ecrã de texto e limpar esse ecrã. Visualizar o menu DRAW e seleccionar a opção 8: DrawInv.
	Escrever a variável dependente Y1.
	Premindo a tecla ENTER visualiza-se imediatamente o gráfico da função inversa, já obtido anteriormente, e o da relação inversa.

A calculadora dispõe de várias facilidades de cálculo com especial interesse para o estudo de funções. Estas facilidades de cálculo, acessíveis no menu CALC, podem ser executadas a partir do ecrã de texto ou interactivamente sobre o próprio gráfico.

Teclas a Premir

Descrição

Ecrã

Visualizar o menu CALCULATE.

Descrição de cada uma das opções do menu:

1. value (calcula o valor de uma função num ponto);

2. zero (determina um zero de uma função);

3. minimum (calcula o mínimo relativo de uma função);

4. maximum (calcula o máximo relativo de uma função);

5. intersect (determina as coordenadas de um ponto de intersecção de dois gráficos correspondentes a outras duas funções);

6. dy/dx (determina a derivada numérica de uma função num ponto);

7. òf(x)dx (determina o integral numérico de uma função entre dois pontos).

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A opção 7: òf(x)dx, que permite calcular o integral numérico de uma função, não será objecto de estudo uma vez que esse assunto não faz parte dos actuais programas do Ensino Secundário.

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menu Y = . Escrever em Y1 a expressão x³ - 4, a qual define a função.
	Seleccionar a opção 6: ZStandard do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico da função.
	Seleccionar a opção 2: zero do menu CALCULATE.
	Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à esquerda do zero. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite inferior de um intervalo em que se encontra o zero.
	Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à direita do zero. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite superior de um intervalo em que se encontra o zero.
	Premindo novamente a tecla ENTER obtém-se um valor aproximado do zero. Obteve-se x = 1,5874011 para valor aproximado do zero.

Para resolver esta equação basta considerar duas funções cujas expressões são os membros da equação, isto é, y = 2x³ + x² e y = 6x + 3. As soluções da equação são, então, as abcissas dos pontos de intersecção dos gráficos das duas funções.

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menu Y = . Escrever em Y1 a expressão 2x³ + x², a qual corresponde ao primeiro membro da equação.
	Escrever em Y2 a expressão 6x + 3, a qual corresponde ao segundo membro da equação.
	Visualizar o menu WINDOW. Estabelecer o intervalo [-5,5] no eixo dos xx, com o incremento 1, e o intervalo [-20,20] no eixo dos yy, com o incremento 2. Assim, [-5,5] x [-20,20] define o rectângulo de visualização do gráfico.
	Visualizar os gráficos das funções Y1 e Y2.
	Seleccionar a opção 5: intersect no menu CALCULATE.
	Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, deslocar o cursor sobre um dos gráficos de modo a que fique suficientemente próximo do ponto de intersecção dos gráficos que se pretende estudar. Seguidamente, premir de novo a tecla ENTER. Observe-se que o cursor se deslocou para o outro gráfico.
	Seguidamente, premir de novo a tecla ENTER. Deve notar-se que, quando temos mais de dois gráficos, pode existir a necessidade de deslocar o cursor de um gráfico para o outro de modo a relacionar os dois gráficos pretendidos. Consegue-se isso premindo as teclas de deslocação vertical.
	Finalmente, premindo a tecla ENTER obtêm-se as coordenadas do ponto de intersecção dos gráficos. Obteve-se x = 1,7320508 para valor aproximado da raiz da equação.

O procedimento utilizado para determinar uma das raízes da equação pode ser repetido para determinar as outras duas raízes da equação.

Em alternativa, observando que a equação 2x³ + x² = 6x + 3 é equivalente à equação 2x³ + x² - 6x - 3 = 0, conclui-se que as suas soluções são os zeros da função y = 2x³ + x² - 6x - 3, bastando então repetir o procedimento já observado para calcular os zeros desta função.

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menu Y = . Escrever em Y1 a expressão x⁴ + 4x² - 5.
	Visualizar o menu WINDOW. Estabelecer o intervalo [-4,7;4,7] no eixo dos xx, com o incremento 1, e o intervalo [-15,15] no eixo dos yy, com o incremento 3. Assim, [-4,7;4,7] x [-15,15] define o rectângulo de visualização do gráfico.
	Visualizar o gráfico da função Y1.
	Seleccionar a opção 3: minimum do menu CALCULATE.
	Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à esquerda do primeiro mínimo. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite inferior de um intervalo em que se encontra o mínimo.
	Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à direita do primeiro mínimo. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite superior de um intervalo em que se encontra o mínimo.
	Premindo novamente a tecla ENTER obtém-se um valor aproximado do mínimo. Obteve-se y = -9 para o valor do mínimo e x = -1,414213 para valor do minimizante. Note-se que o mínimo da direita é também y = -9 e ocorre para x = -1,414213, pois a função é par.
	Seleccionar a opção 4: maximum do menu CALCULATE.
	Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à esquerda do máximo. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite inferior de um intervalo em que se encontra o máximo.
	Premindo várias vezes as teclas de deslocação horizontal, colocar o cursor sobre o gráfico e à direita do máximo. Premindo, de seguida, a tecla ENTER fixamos o limite superior de um intervalo em que se encontra o máximo.
	Premindo novamente a tecla ENTER obtém-se um valor aproximado do máximo. Obteve-se y = -5 para o valor do máximo e x = 1,5938 x 10^-6 para o valor do maximizante. Em termos exactos, o máximo é -5 e o maximizante é o 0.

A partir da observação do gráfico de uma função podemos tirar conclusões acerca do sinal e da variação de uma função. Para tal, consideram-se os seus zeros e os seus extremos.

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menu Y = . Escrever em Y1 a expressão x⁵ - 3x⁴ - x + 3.
	Visualizar o menu WINDOW. Estabelecer o intervalo [-4,7;4,7] no eixo dos xx, com o incremento 1, e o intervalo [-25,20] no eixo dos yy, com o incremento 4. Assim, [-4,7;4,7] x [-25,20] define o rectângulo de visualização do gráfico.
	Visualizar o gráfico da função Y1.
	Determinando o valor da função em x = -1, verifica-se que -1 é um zero da função. Determinando o valor da função em x = 1, verifica-se que 1 é um zero da função. Determinando o valor da função em x = 3, verifica-se que 3 é um zero da função. Note-se que os zeros podiam ser obtidos recorrendo à opção 2: zero do menu CALCULATE.
	Seleccionar a opção 4: maximum do menu CALCULATE. Depois de definido um intervalo que contenha o máximo, premindo a tecla ENTER obtêm-se os valores do máximo e do maximizante. Seleccionar a opção 3: minimum do menu CALCULATE. Depois de definido um intervalo que contenha o mínimo, premindo a tecla ENTER obtêm-se os valores do mínimo e do minimizante. Seleccionar a opção 3: minimum do menu CALCULATE. Depois de definido um intervalo que contenha o mínimo, premindo a tecla ENTER obtêm-se os valores do mínimo e do minimizante.

Com a calculadora conseguimos calcular o valor da derivada de uma função num dado ponto do seu domínio.

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menu Y = . Escrever em Y1 a expressão x².
	Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico da função.
	Calcular a derivada da função no ponto x = 0.
	Calcular a derivada da função no ponto x = -1.

Porém, existem casos em que a calculadora não determina correctamente o valor da derivada da função num ponto. Isto resulta de a calculadora determinar a derivada de uma função num ponto pelo método das diferenças simétricas. Este método considera para valor aproximado da derivada o declive da recta secante definida pelos pontos (x - h, f(x - h)) e (x + h, f(x + h)), isto é, o valor do quociente [f(x + h) - f(x - h)]/2h, com h positivo e o mais próximo possível de zero.

Como exemplo, calculemos a derivada da função y = lxl no ponto de abcissa x = 0.

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menu Y = . Escrever em Y1 a expressão abs(x).
	Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentado de imediato o gráfico.
	Calcular a derivada da função no ponto x = 0. Obteve-se y'(0) = 0 para valor da derivada de y em x = 0. Note-se que a função y = lxl não tem derivada em x = 0, pelo que a calculadora apresentou uma resposta errada.

Neste exemplo, em x = 0 tem-se f(x - h) = f(x + h), para qualquer valor de h > 0. Então, [f(x + h) - f(x - h)]/2h = 0 e, em consequência, quando x tende para zero temos que [f(x + h) - f(x - h)]/2h tende também para zero, de onde sai y'(0) = 0, como foi apresentado pela calculadora.

Dada uma função f, definida por uma expressão algébrica, a calculadora não permite determinar a expressão algébrica que define a função derivada. Todavia, em relação ao gráfico da função derivada a situação é diferente. Recorrendo ao comando nDeriv(Y1,x,x) em que Y1 define a função f, x define a variável em relação à qual se pretende calcular a derivada e o segundo x estabelece a abcissa do ponto em que se determina a derivada da função, obtém-se a derivada da função em sucessivos pontos do intervalo do eixo dos xx, intervalo esse definido pela janela de visualização do gráfico. Finalmente, unindo os sucessivos pontos por segmentos de recta obtém-se um esboço do gráfico da função derivada de f.

Como exemplo, vamos determinar um esboço do gráfico da função derivada de f(x) = x³- 2x.

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menu Y = . Escrever em Y1 a expressão x³ - 2x e colocar o cursor em Y2.
	Visualizar o menu MATH e seleccionar a opção 8: nDeriv(. Escrever a expressão Y1,x,x), em que Y1 define a função, x é a variável relativamente à qual vai ser calculada a derivada e o segundo x é o ponto em que vai ser calculada a derivada.
	Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentados de imediato os gráficos da função e da função derivada. Observe-se que, sendo a função dada uma função cúbica, a função derivada é uma função quadrática que tem por gráfico uma parábola.

Repetindo o processo anterior, considerando agora a função derivada de f, obtém-se o gráfico da função segunda derivada de f. Usando a simbologia da calculadora, trata-se de escrever em Y3 a expressão nDeriv(Y2,x,x) e obter o seu gráfico.

Teclas a Premir	Descrição	Ecrã
	Visualizar o menu Y = . Colocar o cursor em Y3.
	Visualizar o menu MATH e seleccionar a opção 8: nDeriv(. Escrever a expressão Y2,x,x), em que Y2 define a função, x a variável relativamente à qual vai ser calculada a derivada e o segundo x é o ponto em que vai ser calculada a derivada.
	Seleccionar a opção 4: ZDecimal do menu ZOOM, sendo apresentados de imediato os gráficos da função, da função primeira derivada e da função segunda derivada. Observe-se que, sendo a função dada uma função cúbica, a função segunda derivada é uma função afim que tem por gráfico uma recta.

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