Introdução às Funções

 

Uma  função é uma aplicação entre conjuntos. As funções descrevem fenómenos numéricos e podem representar-se através de gráficos sobre eixos cartesianos. O gráfico de uma função permite ver, muito facilmente, toda a sua evolução. Porém, por vezes, pode ser mais cómodo trabalhar com a equação ou fórmula da função, já que com ela temos à nossa disposição o conjunto de operações que devemos aplicar à variável independente, normalmente representada por x, para obter a variável dependente, normalmente representada por y. Podemos imaginar que uma função é uma máquina em que introduzimos um número x do conjunto de partida, dela saindo o número f(x).

    

     Uma função é uma aplicação entre conjuntos numéricos. Para indicar que entre dois conjuntos A e B há uma função utilizaremos a notação:

f : A B

     Existem várias formas de expressar uma função:

y = ax + b

f (x) = ax + b

entre outras.

     Se f for uma função e   f(x) = y, diremos que y é a imagem de x pela função e que x é o original, anti-imagem ou objecto de y pela função.

     Em toda a função entre dois conjuntos A B os elementos do conjunto A recebem o nome de variável da função.

     Exemplificando, tomemos a função:

f : N Z

f(x) = 5x + 2

f (2) = 5 * 2+2 = 12, 2 N

diremos que 12 é a imagem de 2, e que 2 é o objecto ou anti-imagem de 12.

 

     Funções Reais de Variável Real

     Uma função real de variável real é uma função em que tanto os elementos do conjunto de partida ou conjunto dos objectos como os do conjunto de chegada ou conjunto imagem são números reais, isto é, pertencem ao conjunto R, e representa-se por:

f : R R

     As funções f(x) = x + 3, f(x) = x2 + 2x + 1, f(x) = 3x + 1/2, são exemplos de funções reais de variável real. Se dermos a x um valor real, ao realizar as operações obteremos sempre um número real f(x).

    Pode acontecer que nem todos os números reais tenham imagem pela função. O conjunto formado pelos números reais que têm imagem chama-se domínio. Em geral, uma função real de variável real tem a seguinte expressão:

f : A R

sendo A um subconjunto de R, que irá corresponder ao domínio da função.

 

     Representação Gráfica de uma Função

     Dado que o conjunto dos números reais se pode representar sobre uma recta, o método de coordenadas cartesianas serve para representar funções.

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     Observemos os gráficos das figuras. Como podemos observar, a variável independente x é representada sobre o eixo das abcissas e a variável dependente y sobre o eixo das ordenadas.

    

Operações com funções

Inverso da função e função inversa

Função par e função ímpar

Função linear e função afim

 

Operações com Funções

     1. Produto de uma função por um número real

(kf )(x) = k * f(x)

     O produto é uma nova função, de forma que a cada valor de x corresponde k vezes o valor de f.

     Exemplo:

f : R R

f(x) = 3x + 2

5f : R R

(5f)(x) = 5 * f(x) =

= 5 * (3x + 2) = 15x + 10

     2. Soma de funções

     Temos  f(x) = 2x + 2 e g(x) = - x - 1. Se somarmos membro a membro obtemos:

f(x) + g(x) = (2x + 2) + (-x - 1) = 2x - x +2 -1 = x + 1

(f + g) (x) = x + 1

    Vamos verificar o que obtivemos:

f(1) = 2 * 1 + 2 = 4

g(1) = - (1) - 1 = -1 - 1 = -2

f(1) + g(1) = 4 + (-2) = 4 - 2 = 2

(f + g) (1) = (1) + 1 = 2

     Vemos que, para cada objecto x, somando as respectivas imagens de f(x) e de g(x) obtemos exactamente o mesmo valor que obtemos ao calcular (f + g) (x).

 

     Então, em geral, podemos escrever:

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

 

     3. Produto de funções

     Seguindo o mesmo procedimento que para a soma de funções, considerando f(x) = x e g(x) = -x + 2, o produto das funções será:

(f * g) (x) = f(x) * g(x) = x*(-x + 2) = -x2 + 2x

(f * g) (x) = -x2 + 2x

    Verificamos que:

f(1) = 1

g(1) = - (1) + 2 = -1 + 2 = 1

f(1) * g(1) = 1 * 1 = 1

(f * g) (1) = -(1)2 + 2 * 1 = -1 + 2 = 1

     Vemos que, de forma análoga ao que ocorre com a soma de duas funções, para cada objecto x, multiplicando as respectivas imagens de f(x) e de g(x) obtemos exactamente o mesmo valor que obtemos ao calcular (f * g) (x).

      Em geral, escrevemos:

(f * g) (x) = f(x) * g(x)

 

 

     4. Composição de funções

     A composição de uma função f com outra função g é uma nova função, representada por g º f, definida por:

(g ° f) (x) = g [f(x)]

     Primeiro determinamos f(x) e o resultado obtido é o objecto para a função g. Exemplificando, seja f(x) = x + 1 e g(x) = x2 , temos (g ° f) (x) = g [f(x)] =g [x + 1] = (x + 1)².

    Mas atenção, é diferente se tivermos: (f ° g) (x) = f [g(x)] = f [x²] = x² + 1.

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Inverso da função e função inversa

     Quando temos uma função f, tal que para qualquer x do domínio verificamos que f(x) 0, podemos dizer que existe o inverso da função de f, e representamo-la por 1/f. Podemos ver um exemplo representado na figura seguinte:

     Se f for uma função injectiva, a função inversa de f é uma nova função, que se representa por , em que os objectos são as imagens dadas por f.

     Seja f a função definida por y = 3x - 5, a expressão que define determina-se resolvendo a equação y = 3x - 5 em ordem a x:

y = 3x - 5 <=> 3x = y + 5 <=> x = (y + 5)/3

logo vem:

O domínio da função inversa é o contradomínio ou conjunto das imagens da função f. O gráfico da função inversa é simétrico do gráfico de f em relação à bissectriz y = x.

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Função par e função ímpar

     Damos o nome de função par à que é simétrica em relação ao eixo das ordenadas, ou seja, que verifica:

f(-x) = f(x)

     O gráfico de uma função par fica determinado se conhecermos a forma que assume para os números positivos. Para visualizar este facto vejamos as seguintes figuras:

     Damos o nome de função ímpar à função que é simétrica em relação à origem das coordenadas, ou seja, quando se verifica que:

f(-x) = - f(x)

     O gráfico de uma função ímpar fica determinado se conhecermos a forma que assume para valores positivos. Vejamos as figuras:

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Função linear e função afim

     As funções da forma f(x) = kx são chamadas funções lineares ou função de proporcionalidade, onde k é uma constante numérica e nos dá o declive da recta. O gráfico deste tipo de funções é uma recta que passa pelo centro de coordenadas (0,0).

     As funções da forma f(x) = kx + p recebem o nome de funções afins. O seu gráfico é uma recta que não passa pelo centro de coordenadas (0,0) e é paralela à correspondente função linear g(x) = kx. p é a ordenada na origem ou ponto de intersecção da recta com o eixo das ordenadas.

     As funções lineares e afins são chamadas funções polinomiais do primeiro grau.

 

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               Se quiseres ver como podemos utilizar as                     calculadoras para fazer estas operações                            com funções clica aqui:

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