Estudo de Funções - Alguns Critérios

    A observação do gráfico e da forma analítica dá-nos toda uma série de propriedades que configuram os elementos que temos de ter em conta quando estudamos qualquer função. Nos critérios que deverão ser observados no estudo de uma função incluem-se a continuidade, critérios de crescimento e decrescimento, os extremos locais, concavidade, convexidade e pontos de inflexão.

Continuidade

     A ideia intuitiva de continuidade implica uma ligeira variação da função, sem saltos bruscos que desiquilibrem o gráfico.

     A definição formal de continuidade diz-nos que uma função f(x) é contínua no ponto x = a quando se verifica:

     A continuidade de f(x), em x = a, obriga a que se verifiquem as seguintes condições:

     1.  Existe o limite da função em x = a;

     2. Existe f(a);

     3.  O limite e f(a) coincidem.

     Por tudo isto dizemos que a continuidade ou descontinuidade de uma função num ponto exige que a função esteja definida nesse ponto.

Observando estas três condições, vemos que uma função é descontínua se:

     1.  Não existir

     2.  Não existir f(a);

     3. Se existirem o limite e f(a), mas estes não coicidirem.

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Crescimento e Decrescimento

     Quando temos uma função pode acontecer que, ao aumentar os valores de x, os valores das imagens também aumentem. Neste caso, diremos que a função cresce. Podemos vê-lo claramente na figura seguinte:

 

     Critérios de Crescimento de uma Função:

     1.  Uma função é estritamente crescente num intervalo se, para dois valores quaisquer a e b, se verifica que:

a < b f(a) < f(b)

    Podemos verificar este primeiro critério observando o gráfico da figura seguinte:

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     2.  Uma função é crescente num intervalo se, para dois valores quaisquer a e b, se verifica que:

a < b f(a) f(b)

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     Como não basta comparar dois pontos extremos, já que a amplitude entre esses dois pontos pode ter um comportamento diferente (ver figura anterior), temos de estabelecer um critério válido para o crescimento num ponto.

     3.  Uma função f(x) é crescente num ponto a se existir um intervalo que contenha a de maneira que os x deste intervalo verifiquem:

se x < a   f(x) < f(a)

se x > a   f(x) > f(a)

     Podemos verificar este terceiro critério de crescimento de uma função observando o gráfico da figura seguinte :

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          Ao contrário do que acontece com as funções crescentes, numa função decrescente, quando aumentam os valores de x, diminuem os valores de y. Esta particularidade fica perfeitamente definida observando o gráfico da figura seguinte:

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     Critérios de Decréscimo de uma Função:

     1.  Uma função é estritamente decrescente num intervalo se, para dois valores quaisquer a e b, se verifica que:

a < b f(a) > f(b)

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     2.  Uma função é decrescente num intervalo se, para dois valores quaisquer a e b, se verifica que:

a < b f(a) f(b)

     À semelhança do que fizemos para o crescimento, temos de definir decréscimo num ponto.

     3.  Uma função f(x) é decrescente num ponto se existir um intervalo que contenha a de modo que os x deste intervalo verifiquem:

se x < a   f(x) > f(a)

se x > a   f(x) < f(a)

     Verificamos este terceiro critério de decréscimo de uma função observando o gráfico da figura seguinte:

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Extremos Locais

     Encontramos os extremos locais de uma função num ponto, por exemplo, entre dois pontos a e b, onde a função é contínua e em que se regista o crescimento e decréscimo da função.

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     Neste gráfico podemos ver que a função cresce nuns intervalos e decresce noutros. A fronteira ou limite desta inflexão é assinalada pelo ponto c. No primeiro gráfico a função tem um máximo em c. No segundo gráfico a função tem um mínimo em c.

     O cálculo da derivada para os pontos de um intervalo de uma função informa-nos sobre o crescimento e decréscimo da função. Para determinarmos os extremos da função basta derivar a função e igualar a derivada obtida a zero, ou seja, calcular:

f '(x) = 0

     Temos que:

se f '(x) > 0 num intervalo ]a,b[ f(x) é crescente em ]a,b[

      se f '(x) < 0 num intervalo ]a,b[ f(x) é decrescente em ]a,b[

     Nos pontos em que f '(x) = 0 teremos um máximo ou um mínimo da função, conforme a função seja crescente ou decrescente nos intervalos contíguos.

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Esta tabela mostra a determinação dos extremos de uma função a partir da primeira derivada.

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Concavidade, Convexidade e Pontos de Inflexão

     Podemos encontrar funções que são crescentes mas que não crescem da mesma forma. O que as torna realmente diferentes é a concavidade. Para o verificarmos podemos observar os seguintes gráficos:

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      Concavidade

     Diremos que uma curva é côncava no intervalo [a,b] onde tem apenas um minimo, quando o gráfico da curva fica por baixo da corda que une os pontos a e b.

Podemos verificar a definição de concavidade de uma curva observando o grafico: wpe3E.jpg (4780 bytes)

    Convexidade

     Diremos que uma curva é convexa no intervalo [a,b] onde tem apenas um máximo, quando o gráfico da curva fica por cima da corda que une as imagens a e b.

   Podemos verificar a definição de convexidade de uma curva observando o grafico:

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     Critérios de Concavidade e Convexidade

   Ao observar o grafico dizemos que a função de uma curva alterna intervalos côncavos e convexos. Deste modo, temos de estabelecer o  critério de concavidade e critério convexidade.

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     1.  Para estabelecer o critério de concavidade, podemos observar o grafico:

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     Dado um ponto a diremos que a curva é côncava nesse ponto, se conseguirmos encontrar uma vizinhança de a (a-x, a+x) em que a curva seja côncava.

     2.  Para estabelecer o critério de convexidade podemos observar a evolução da curva do grafico:

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    Dado um ponto a, diremos que a curva é convexa nesse ponto, se conseguirmos encontrar uma vizinhança de a (a-x, a+x) em que a curva seja convexa.

     Pontos de inflexão

     Os pontos de inflexão de uma curva são os pontos em que a curva passa de côncava a convexa, ou de convexa a côncava, como podemos observar nos graficos.

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      Nesta tabela está representada a determinação dos pontos de inflexão da função e da sua concavidade a partir da segunda derivada.

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wpe46.jpg (1416 bytes)wpe4E.jpg (1433 bytes)